Az összeadás képességének fejlődése

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék 1 Csecsemők 2 Óvodáskorú gyerekek 3 Iskoláskor 4 Felnőttek 5 Felhasznált irodalom

[szerkesztés] Csecsemők

Az összeadás egyszerű formái meglepően korán megjelnnek. 6-8 hónapos csecsemőknél kísérletileg igazolták, hogy könnyedén megkülönböztetnek két tárgyat háromtól, talán még hármat is négytől; valamint meghallják a két és a három hang közötti különbséget. Feltételezhető, hogy genetikailag előhuzalozott számosságdetektorral (egyes feltevések szerint a mentális számegyenessel) jönnek a világra, mivel a környezet kétértelműsége (pl.: némely tárgy több hangot ad ki, mások egyet sem) megnehezítené a kicsik korai tanulását.

Karen Wynn kísérletével igazolta, hogy 4,5 hónapos csecsemők képesek azt az egyszerű műveletet elvégezni, hogy 1 + 1 = 2. Vizsgálatában egy kis bábszínházat használt színpaddal és egy paravánnal. Oldalról benyúlt a kísérletvezető keze és egy Miki egeret rakott a színpad közepére, majd felemelkedett a paraván, amely eltakarta a behelyezett tárgyat. Ezután megjelent kísérletvezető keze egy másik Miki egérrel, bevitte azt a paraván mögé és üresen távozott. Ezutn leengedték a paravánt. A csecsemők két lehetséges eredményt láthattak: az egyikben két Miki egér maradt a paraván eltűnésekor a színpadon, a másikban csak egy (a másikat észrevétlenül kicsempészték). Azok a csecsemők nézték hosszabb ideig a látványt, akiknek az nem egyezett meg az elvárásukkal, ebben az esetben amikor csak egy egér volt a színpadon. Soha nem látták a két tárgyat együtt, mégis arra a valóságnak megfelelő következtetésre jutottak, hogy 1 + 1 az nem lehet 1.

A számok sorrendjéről 15 hónapos kortól van fogalmuk, ilyen idős gyerekeknél tapasztalták ugyanis, hogy a nagyobb kupac játékot választják két eltérő számú játékból álló halmaz esetén. A „kisebb” és „nagyobb” fogalmak feltehetően az összeadási és kivonási műveletek tulajdonságainak megfigyelése révén kerülnek a helyükre a kis fejekben. (A nagyobb szám az, amihez összeadás révén juthatunk el, a kisebb számot pedig kivonással lehet elérni.)

[szerkesztés] Óvodáskorú gyerekek

Minden gyerek felfedezi óvodáskorban, hogyan kell ujjaik segítségével két halmazt összeadni. Az életkor előrehaladtával újab összeadási stratégiákat dolgoznak ki. Kezdetben egyik kezükön elszámolnak az egyik összeadandóig, a másik kezükön a másik összeadandóig, majd az összes felemelt ujjukat megszámolják. Egy következő stratégia, amikor elszámolnak az első számjegyig, majd annyi lépést tesznek előre, amennyit a második számjegy elérése megkíván. Fejlettebb stratégiára utal, ha az első számjegyet számolás nélkül felmutatják és onnan számolnak tovább a második számjegyig. A formális iskolai képzés előtt, kb. 5-6 éves korban megjelenik a minimumstratégia: a gyerekek intuitíven felismerik az összeadás kommutativitását, és két szám összeadásakor mindig a nagyobbat veszik előre (pl.: a 2 + 4-et megfordítják 4 + 2-re). A stratégiák közt lehetnek átfedések, egy bizonyos életkorban több stratégiát is váltogathatnak.

Az alapján választanak stratégiát, hogy a különböző lehetőségek segítségével várhatóan mennyi ideig tart a számolás és milyen valószínűséggel jutnak helyes eredményhez.

[szerkesztés] Iskoláskor

Az iskolai oktatás és a sok gyakorlás elősegíti újabb stratégiák megtanulását. Egyre gyakoribbá válik a számtani tények előhívása: megtanulják az egyszerű összeadások eredményeit vagy a szorzótáblát. 3. osztályban a diákok már sok összeadást tudnak fejből; amikor elkezdik tanulni a szorzótáblát, az összeadásokhoz szükséges idő megnő és megjelennek a 3 + 4 = 12 típusú hibák is (összeadási tény helyett szorzási tényt hívnak elő).

Fontos, hogy a gyerekek kapcsolatokat alakítsanak ki a számolás mechanikája és a jelentés között, különben a gyerekek képesek olyan megoldásokat is adni, amelyek hibásak vagy a hétköznapi élet szempontjából értelmetlenek. Pl. ha egy buszra 20-an férnek fel, és az iskolai csoport 30 tagú, akkor a gyerek megoldása szerint 1,5 buszra van szüksége az osztálynak. Fél buszt azonban nehéz igénybe venni. Az írásban végzett műveletekkel kapcsolatos hibák is sokszor abból fakadnak, hogy a mechanikus műveletek apróbb hibáit nem tudja korrigálni a megértés. Pl. ha írásban a 15-ből kell kivonni a 8-at, akkor gyakori hiba végeredményként a 13. Ugyanis az ötből nem tudja kivonni a nyolcat, így inkább megcseréli a két számjegyet – helytelenül. Ha össze tudná kapcsolni az írásbeli műveletet a kivonás jelentésével, akkor nem próbálná megcserélni az opernadusokat.

A legtöbb iskola azonban megelégszik azzal a célkitűzéssel, hogy értelmetlen, mechanikus számtani formulákat véssen a gyerekek fejébe. A gyerekek nem számolhatnak többé az ujjaikon, egy művelet megoldása esetén az az elvárás, hogy emlékezetből hívják elő a választ. Ez megtöri a természetes fejlődés menetét, a gyerekek elidegenednek a matematikától, szoronghatnak a teljesítménykényszer miatt; kis számológépekké válnak, de nem gondolkodnak. John Paulos ezt számolástudatlanságnak nevezi, amely gyors, óriási tévedésekben nyilvánul meg a végeredményt illetően (pl.: 1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 10 mivel 1 + 2 = 3 és 5 + 5 = 10 vagy 0,2 + 4 = 0,6 mivel 2 + 4 = 6).

Segíteni kell a gyerekeket abban, hogy felfedezzék, hogy a matematikai műveleteknek jelentésük van, amit a számszerű mennyiségekre vonatkozó, veleszületett érzékükkel (mentális számegyenes) reprezentálni tudnak. A megértés könnyen elősegíthető különböző analógiákkal, amelyek mentális modellként szolgálnak. Egyszerű összeadás esetén bármilyen tárgyak összeadásához kapcsolhatjuk az összeadást, pl.: 3alma + 6alma = 9alma. A negatív számok könnyen megérthetőek a hőmérséklet analógiával, pl.: 3C − 9C = − 6C. A törtek fogalmát akkor a legkönnyebb megérteni, ha pl. tortaszeletekhez hasonlítjuk őket (pl.: fél torta + egyharmad torta → megérti, hogy az eredmény kisebb 1-nél). A tortaszeletek kapcsán azt is megértheti, hogy a szeleteket kisebb, azonos nagyságú darabokra kell vágni (közös nevező), hogy ki lehessen számolni a végeredményt pl.: 1 / 2 + 1 / 3 = 5 / 6.

A gyerekek sokszor esnek számtani csapdák áldozatául, ahogy azt a következő példa is szemlélteti: Juditnak 5 babája van, 2-vel kevesebb, mint Évának. Hány babája van Évának? A „kevesebb” szó automatikusan kiváltja a kivonási sémát, holott az összeadás lenne a helyes művelet a feladat megoldásakor. Ezt a tévedést részben a gátló funkciók (amelyek a prefrontális kéregben lokalizálhatóak) éretlenségével magyarázzák, ami a serdülőkor végéig vagy még utána is problémát jelenthet, mivel a prefrontális kéreg érése kb. 20-25 éves korban fejeződik be teljesen. Egy másik (talán jobban elfogadható) magyarázat szerint az emberek közvetlen transzlációt használnak az ilyen feladatokban, tehát a kulcsszavakat gondolkodás nélkül fordítják le műveletekké („kevesebb”→ kivonás, „több”→ összeadás).

[szerkesztés] Felnőttek

A fiatal felnőttek legtöbbször emlékezetből hívják elő az egyjegyű összeadások és szorzások eredményeit, csak akkor folyamodnak számláláshoz, ha nem jut eszükbe az eredmény. Ahogy a műveletben használt számok egyre nagyobbak lesznek, úgy az emlékezeti táblázathoz való hozzáférés egyre több időt vesz igénybe pl.: a 2 + 3 gyorsabban megy, mint a 8 + 7 (ún. méret hatás).

Ennek a lassulásnak 3 oka lehet:

1. a nullától induló aktiváció annál tovább tart, minél nagyobb a szám
2. a kisebb számokkal végzett műveleteket hamarabb tanulják, mint a nagyobb számokkal végzetteket
3. kevesebbet gyakorolják a nagyobb számokkal végzett műveleteket, mivel a számok gyakorisága a mérettel együtt csökken.

A felnőttek többjegyű számoknál leggyakrabban számológépet használnak, az írásbeli összeadás ritka.

Az agy asszociatív működése miatt náluk is gyakoriak a 3 + 4 = 12 vagy 3x3 = 6 típusú hibák (összeadási és szorzási tények összekeverése, ún. tábla hibák). Több időt vesz igénybe annak a felismerése, hogy a 2x3 = 5 az hamis, mint a 2x3 = 7 , mivel a korábbi eredmény összeadás esetén helyes lenne.

A felnőttek is elkövetnek közvetlen transzlációs hibákat, ahogy az iskoláskorú gyerekek.

A 24 + 59 feladat írásbeli kiszámítása felnőtteknél teljes koncentrációt igényel és a gyors számolás érdekében nem is figyelnek oda az elvégzett műveletek értelmére, automatikusan számolnak.

[szerkesztés] Felhasznált irodalom

Dehaene, S. (2003). A számérzék. Budapest: Osiris