Computus
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A húsvétszámítás vagy latinul computus (jelentése: „számítás”) a keresztény húsvét naptári időpontjának meghatározására szolgáló eljárás. A latin elnevezés egyszerűségének oka az, hogy a középkorban a matematika egyik legfontosabb alkalmazásaként tartották számon a problémát.
Az első nicaeiai zsinat (Kr. u. 325.) határozata alapján a húsvét napja
- a tavaszi napéjegyenlőség utáni első holdtöltét követő vasárnap.
A nyugati kereszténység által a húsvét meghatározására ma használt metódust, a Gergely-féle naptárreformot szabályozó kánonban (1582) rögzítették. Ebben pontosították, hogy mit kell az egyházi naptár értelmében „tavaszi napéjegyenlőségnek” illetve azt követő „teliholdnak” tekinteni. Valójában itt a Gregorián-naptár mögött meghúzódó luniszoláris naptárra kell gondolnunk, melynek lunáris hónapjainak első napja, szándékolt módon (de természetesen csak közelítőleg) a csillagászati újholddal esnek egybe.
A keleti egyházrészek egy régebbi, a VI. században élt Dionysius Exiguus által megalkotott rendszer szerint számítják a húsvétot, mely alapgondolatát tekintve megegyezik a Gregorián-naptár szerinti számítással, csak semmilyen naptárkorrekciót nem tartalmaz.
- A húsvétdátum pusztán algoritmikus előállításáról lásd még: húsvétképlet.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] A húsvétszámítás elméleti háttere
A niceai zsinat határozata alapján a húsvét vasárnap kijelölése elvileg csillagászati feladat lenne. A kor tudományos nívójának megfelelően eleget is tettek a feladatnak, de mai értelemben persze ez nem a pontos megoldás. Nem várható el azonban az egyháztól, hogy minden új tudományos eredmény után módosítgassa az évszázados eljárást, hiszen a húsvét időpontjának nem csillagászati, hanem egyházi szertartástani jelentősége van. A naptár elégtelen volta persze egy idő után szükségessé tette a húsvét időpontja és a naptár korrekcióját. Ezt a korrekciót 1582-ben meg is tették, nem módosítva a niceai zsinat határozatát a húsvét elvi definíciójára, ellenben praktikusan módosítva a keresztény naptárat. Ez a natárkorrekció csillagászti és matematikai szempontból is figyelemreméltóan jó megoldást biztosít és nem szorul további szerkezeti korrekcióra. Figyelembe véve, hogy a naptárprobléma, természetéből adódóan, egyébként sem oldható meg 1-2 napnál jobb pontossággal (kb. ennyi a Hold periodikus perturbációiból eredő, évenként változó „esetleges” eltérés a csak szekuláris perturbációkkal számolt évről-évre ugyanolyan „átlagos” mozgáshoz képest), a XVI. századi alkotók tökéletes munkát végeztek.
Sem a Julián- sem a Gregorián-naptár hónapjai nem illeszkednek a Hold járásához, hiszen szoláris naptárakként (egyiptomi mintára) nem vesznek tudomást a Hold fázisváltozásairól. A tavaszi telihold időpontjának meghatározásához azonban lehetséges és érdemes alkalmazni az antik görög holdnaptár szöktetési ciklusait, melynek megalkotása egyébként is a görög természettudomány nagy teljesítménye volt, s melyet a IV. században joggal tekinthettek alkalmazásra méltó eredménynek.
[szerkesztés] Meton-ciklus
Kr.e. 432-ben Meton athéni csillagász kapcsolatot felfedezett fel a holdhónapok és a napévek hossza között. Eszerint
- 19 napév hossza megegyezik 253 holdhónap hosszával.
Mai csillagászati szóhasználattal élve 19 trópikus év közelítőleg 253 szinódikus hónappal esik egybe. A római naptárt alapul vevő egyházi számítás évként Julián-évet használ, azaz átlagosan 365,25 napot és hónapként 29,5 napot. Eszerint a Meton-ciklus alapegyenlősége a
- 19
365,25 = 6939,75
és a
- 253 29,5 = 6932,5
számok közelítő egyenlőségét jelenti, ahol a 7,25 napnyi különbséget a holdhónapok közé ékelt szőkőnapok beiktatásával szükséges kegyenlíteni. A holdhónapok naptárát tehát úgy kell megszerkeszteni, hogy ha a 19 éves ciklus kezdetének napján egy holdhónap kezdete volt, akkor a következő 19 éves ciklus kezdete is egybeessék az aktuális holdhónap kezdetével. (Természetesen mind a 365,25-os érték mind a 29,5-ös érték csak közelíti a valódi év és a valódi hónap hosszát, ezért az így létrehozott naptár idővel korrekcióra szorul. Részben ezt a korrekciót volt hivatott megtenni a Gergely-féle naptárreform.)
Lásd még a zsidó naptár ciklusait is, amelyek 19 évesek (253 hónappal).
[szerkesztés] Holdhónapok a Julián-naptárban
A Julius Caesar által bevezetett római naptár tisztán szoláris naptár, szemben a régi római naptárral, melynek a holdfázisokkal való kapcsolatát szökőnapok és szökőhónapok spontán beiktatásával biztosították. Így a Meton-ciklust nem lehet közvetlenül a Julián-naptárba beépíteni, hanem egy mellette párhuzamosan futó lunáris naptárrendszert kell bevezetni. A különböző keleti egyházak a helyi naptárnak megfelelően számították a Meton-ciklus segítségével a húsvét dátumát. A Caesar-féle naptárba csak a hatodik században építették be. Erre a mindennapi életben sosem használt római holdnaptárra alapul az egyház húsvétszámítási módszere.
Az egyházi holdnaptár rendes holdévei 354 naposak. A szőkő holdévek esetén a rendes holdévhez vagy egy 30 napos, vagy egy 29 napos szökőhónapot iktatnak be, így a szökő holdévek 384 vagy 383 naposak. A holdnaptár központi problémája a holdév kezdetének megadása a Julián-naptár szerint (a Gregorián-naptár csak annyiban különbözik ettől, hogy periodikus időközönként előre meghatározott szökőnapokat hagynak ki az évből). Az egyházi holdhónapoknak nincsenek nevei, egyrészt mert a húsvétszámítás algoritmusában ennek nincs jelentősége, másrészt mert a mai naptár hónapnevei eredetileg a régi római holdhónapok nevei voltak és így autentikus módon akkor járnánk el, ha ugyanúgy neveznénk el őket, ami zavart okozna.
Csillagászati szempontból a szöktetési rendszer egy olyan fiktív égitest fényváltozásait íja le, mely a Holddal azonos ütemben egyenletes körmozgást végez. Ezt a fiktív égitestet nevezzük Naptári Középholdnak, vagy Egyházi Holdnak.
[szerkesztés] Aranyszám és epakta
Aranyszámnak (latinul aureus numerusnak) nevezzük azt az 1 és 19 közötti számot, mely megmutatja, hogy az adott év a Meton-ciklus hanyadik éve. Amennyiben az évszámot a nyugati időszámítás szerint (azaz az Anno Domini éra szerint) számoljuk, akkor
- az aranyszám az évszám 19-cel történő osztásának maradéka + 1
azaz
- AN = (AD mod 19) + 1
(A kora középkorban még nem használták a 0 számjelet, ezért kellett hozzáadni maradékos osztás eredményéhez 1-et.) Eredetileg a Meton-ciklus kezdőéve, a 19 aranyszámú év (mely a mai értelemben vett 0. évnek felelne meg) az az esztendő volt, melyben az évkezdet (január 1.) egybeesett az újholddal. (Ilyenkor az azt megelőző év karácsony estéjén pont telihold van.) Később a naptárreform miatt az aranyszám ezt a jelentését elvesztette, de a Julián-naptár szerinti számítás esetén még most is köthető az 19 aranyszámú évhez ez az értelmezés.
Az epakta (vagy latinul epact) a „gregorián öröknaptár” második kánonjának szövege alapján (Canones in calendarium Gregorianum prepetuum):
- „Nem más, mint az a szám, amennyivel a 365 napos közönséges napév meghaladja a 354 napos közönséges holdévet.”
Valójában az Egyházi Hold korát kell érteni rajta Január elsején. Az epaktaszámokat a Julián-naptár szerinti szemléletes definíció alapján a következőképpen számolták 1582 előtt. A 19 aranyszámú évben az újév egybeesett az évkezdettel. A következő évben az eltérés a holdnaptár és a napnaptár között 365 - 354 = 11 napra nő, így a Hold ekkor már újhold után 11 nappal jár, tehát az Egyházi Hold kora ekkor 11 nap. Egy év múlva 22 nap az eltérés, két év múlva már 33 nap. Ez már meghaladja a holdhónapok hosszát, ezért ekkor bevezetnek egy 30 napos szökőhónapot, ami által az epakta 3-ra mérséklődik. Ezt az eljárást követve a következő táblázathoz jutunk:
| Aranyszám | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| Epakta | 11 | 22 | 3 | 14 | 25 | 6 | 17 | 28 | 9 | 20 | 1 | 12 | 23 | 4 | 15 | 26 | 7 | 18 | (29)  |
A ciklus során tehát 6 harminc napos szökőhónapot kell beiktatni, továbbá a 19. évben egy 29 napos szökőhónapot, éspedig a következők miatt. A 19. évben az epakta 29, amely azt jelzi, hogy a következő ciklus nem újholddal kezdődne, hanem újhold előtti nappal. Ezért az Egyházi Hold korához a következő évben hozzá kell adnunk 1-et, hogy a Meton-ciklus 1. évében újra 11 legyen az epakta. Az Egyházi Hold korának ezt az ugrását nevezzük saltus lunaenak.
A Gregorián-naptár szerinti epakta az előbbinél változatosabb, mert évszázadonként eltérés mutatkozhat benne.
[szerkesztés] Az egyházi Julián-holdnaptár pontossága
Az egyházi naptár Meton-ciklusának pontosságát egészen pontosan akkor tudjuk meghatározni, ha figyelembe vesszük, hogy a szökőévekben az epakta nem ugrik, azaz február 29. kimarad a holdnapárból. A Meton-ciklus és a Julián szökőévciklus hosszának legkisebb közös többszöröse 194 = 76, ennyi idő alatt fordul elő ugyanaz a szököév ugyanazon epaktával (ez a 76 éves periódus a Callyppos-ciklus). A Meton-ciklus 235 holdhónapja tartalmaz 1912 = 228 rendes hónapot, melynek pontosan a fele 29, a másik fele 30 napos, tartalmaz ciklusonként 6 szökőhónapot, mely 30 napos és egy 29 naposat (a -1 nap a saltus lunae). Ezeken kívül kimarad a 76 éves ciklusból a 19 Julián szökőnap. Mindez a 76 év alatt 4253 = 940 hónap alatt. Az Egyházi Hold periódusának átlagos hossza tehát:
Ez a szinódikus hónap 29,53059 napos hosszánál 22,5 másodperccel rövidebb, amely eltérés kb. 310 évenként tesz ki egy teljes napot (ekkor a valódi újhold már átlagosan 1 nappal később lesz mint a naptári).
[szerkesztés] A Gregorián-holdnaptár szöktetési rendszere
A Julián epakta az évszázadok során változatlan. Ugyanazon aranyszámú évben ugyanazon érték lesz az epakta. A Gregorián epaktát viszont ciklikusan korrigálják, azzal az indokkal, hogy a közepes Julián év és a közepes Julián holdhónap hosszúsága eltér a trópikus évétől és a szinódikus hónapétól.
[szerkesztés] Nap-egyenlítés (szoláris egyenlítés)
A Gregely-naptárban az évszázadok közül csak azok maradnak meg szökőévnek, melyek 400-zal oszthatók, így az 1700-as, az 1800-as, az 1900-as, 2100-as, … esztendők nem szökőévek, de 1600, 2000, 2400 … már azok. Ez azt jelenti, hogy ekkor egy napos csúszás jön létre a Julián-naptárhoz képest. Mivel a holdnaptárban a Meton-ciklus Julián évekre lett tervezve, így az említett, meghagyott szökőévekben az epaktát módosítani kell. Ezt nevezzük Nap-egyenlítésnek.
[szerkesztés] Hold-egyenlítés (lunáris egyenlítés)
Az Egyházi Hold periódusának átlagos hossza sem egyezik pontosan a valódi Holdéval, így a már említett kb. 310 évenként fellépő 1 nap eltérést ilyen időközönként számításba kell venni. Minden 300-zal osztható évszázadban 1-gyel meg kell növelni az epaktát. Ez a Hold-egyenlítés. Ezt a korrekciót figyelembe véve a holdnaptár pontossága olymértékben megjavul, hogy a valódi holdhónaptól való eltérése miatt csak 70 000 év múlva kell 1 napot módosítani. Gyakorlati szempontól azt mondhatjuk, hogy az egyházi holdnaptár tökéletesen pontos.
A következő táblázatban összefoglaljuk a Gregorián epaktát módosító kétféle korrekciós lépést.
| Évszázad | Nap-egyenlítés | Hold-egyenlítés | Az epakta változása | Epakta az 1 aranyszámú évben |
|---|---|---|---|---|
| 1600-1699 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1700-1799 | -1 | 0 | -1 | 0 |
| 1800-1899 | -1 | 1 | 0 | 0 |
| 1900-1999 | -1 | 0 | -1 | 29 |
| 2000-2099 | 0 | 0 | 0 | 29 |
| 2100-2199 | -1 | 1 | 0 | 29 |
| 2200-2299 | -1 | 0 | -1 | 28 |
| 2300-2399 | -1 | 0 | -1 | 27 |
| 2400-2499 | 0 | 1 | 1 | 28 |
Based on work by