Derivált

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikában egy differenciálható függvény deriváltja annak az egyenesnek a meredeksége, mely a legjobban közelíti a függvényt, vagy másként fogalmazva a függvénygörbéhez húzott érintő egyenes meredeksége.

[szerkesztés] Definíciók és jelölések

Legyen f valós-valós függvény, mely az értelmezési tartományának egy a pontjában differenciálható. Ekkor az

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

(véges) határértéket az f függvény a-beli deriváltjának vagy differenciálhányadosának nevezzük és ezt az

$f'(a)\,$ , vagy $\frac{df(a)}{dx}$ , vagy $\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=a}$

szimbólum jelöli.

Szokás még az

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

hányadosnak külön nevet adni, ezt differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak nevezzük és ha függvény voltát hangsúlyozni kívánjuk, akkor a magyar matematikai irodalomban a következőt értjük rajta:

$K_a^f:\;Dom(f)\setminus\{a\}\rightarrow \mathbb{R};\;x\mapsto\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

ahol Dom(f) az f függvény értelmezési tartománya (K_a^f tehát az a ponton kívül mindenhol értelmezve van, ahol f is.)

Az x pont beli differenciálhányadost a számítások során még így is szokták írni:

$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ illetve $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

x - a -t, h -t, illetve Δx -et a független változó növekményének, f(x) - f(a) -t, f(x+h) - f(x) -et, illetve f(x+Δx) - f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük.

[szerkesztés] Kiszámítása

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában "egyszerre", nehézség nélkül kiszámíthatjuk. Példaként tekintsük az

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}; x\mapsto x^3$

függvény deriváltját. A különbségi hányados egy tetszőleges x pontban és nullától különböző Δx-re:

$\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^3 - (x)^3}{\Delta x} =$

$= \frac{(x^3 + 3 x ^2 \Delta x + 3 x \Delta x ^2 + \Delta x^3) - x^3}{\Delta x} =$

$= \frac{(3 x ^2 \Delta x + 3 x \Delta x ^2 + \Delta x^3)}{\Delta x}$

$= 3 x^2 + 3 x \Delta x + \Delta x^2 \,$

Vagyis a deriváltat az

$f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}(3 x^2 + 3 x \Delta x + \Delta x^2)$

határérték adja. Az egyszerűsítére az ad lehetőséget, hogy míg a differenciahányados a Δx = 0 helyen nem értelmezett, addig a fenti számítás és a másodfokú függvény folytonossága miatt a mindenhol értelmezett

$K:\Delta x \mapsto 3 x^2 + 3 x \Delta x + \Delta x^2$

függvény folytonos kiterjesztése a különbségi hányadosnak, így határértéke egyszerűen egybeeseik a helyettesítési értékével. A különbségi hányados határértékét tehát úgy kaphatjuk, hogy K-ban Δx helyére 0-t írunk:

$f'(x)=\left.K(\Delta x)\right|_{\Delta x = 0}=3x^2$

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../d/e/r/Deriv%C3%A1lt.html"

Kategória: Differenciálszámítás

Derivált

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

[szerkesztés] Definíciók és jelölések

[szerkesztés] Kiszámítása

Views

Navigáció

Keresés