Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, ami szerint ha 
pozitív valós számok, akkor
![\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\leq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}](../../../math/b/e/e/bee30c3d84b71cd1ee4e46c19644c0b8.png)
teljesül, tehát n szám mértani közepe legalább akkora, mint a harmonikus közepe. Egyenlőség csak akkor van, ha 
.
[szerkesztés] Bizonyítása
Legyenek pozitív valós számok. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a szintén pozitív valós 
számokra:
![\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}} \leq \frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}](../../../math/b/7/9/b797dff88ae3b89e615f32012ae56ca3.png)
Felhasználva a gyökvonás azonosságait:
![\frac{1}{\sqrt[n]{{a_1}\cdots {a_n}}} \leq \frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}](../../../math/8/1/4/8144989f75028d3c9b03a87937e9ed6a.png)
Átszorozva készen is vagyunk:
Az egyenlőtlenség iránya nem változott, hiszen csupa pozitív szám szerepelt. Egyenlőség csak 
számokra, azaz esetén teljesül (ez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből adódik).
Based on work by Trembeczki Csaba Wikipédia felhasználó(k).