Négy-négyzetszám-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A négy-négyzetszám-tétel az additív számelmélet és egyben az egész számelmélet egyik tétele. Azt állítja, hogy minden természetes szám előáll négy négyzetszám összegeként: 7=4+1+1+1, 15=9+4+1+1, 32=16+16+0+0. Lagrange igazolta 1770-ben, Bachet sejtette 1621-ben de a sejtést valószínűleg már sokkal korábban kimondták.

[szerkesztés] Az Euler-azonosság

Ez a következő:

(x 2 + y 2 + z 2 + u 2)(X 2 + Y 2 + Z 2 + U 2) = (x X + y Y + z Z + u U) 2 +

(x Y - y X + z U - u Z) 2 + (x Z - z X + u Y - y U) 2 + (x U - u X + y Z - z Y) 2 .

Az állítás a szorzások elvégzésével könnyen látható.

[szerkesztés] A tétel igazolása

[szerkesztés] Elég prímekre igazolni

A fenti Euler-azonosság alapján, ha két számra tudjuk az állítást, akkor a szorzatukra is. Indukcióval ez akárhány szám szorzatára is igaz. Ha tudjuk az állítást prímszámokra, mivel minden szám prímek szorzatára bontható, készen vagyunk.

[szerkesztés] Minden prímnek van ilyen többszöröse

Legyen tehát p prím. Feltehetjük, hogy p legalább 3. Először belátjuk, hogy p-nek van négy négyzetszám összegeként írható olyan többszöröse, amiben a négyzetszámok nem mind oszthatók p-vel. Ennél erősebb tételt igazolunk: p-nek van x²+y²+1 alakú többszöröse. Valóban, ha vesszük a négyzetszámokat mod p, azaz a mod p kvadratikus maradékokat, akkor maradékosztályoknak egy (p+1)/2 elemű A halmazát kapjuk. A Cauchy–Davenport-lemma szerint A+A tartalmaz minden mod p vett maradékosztályt, így –1-et is, ami pontosan a bizonyítandó állítás.

[szerkesztés] A bizonyítás befejezése

A végtelen leszállás módszerével bebizonyítjuk, hogy ha n>1 pozitív egész, amire np négy négyzetszám összege, akkor van 1<m<n, amire ugyanez igaz.

Tegyük fel először, hogy n páros. Ekkor, az

n p = x 2 + y 2 + z 2 + u 2

egyenlőségbeli x, y, z, u közül 0,2, vagy 4 páros. Permutálva őket feltehetjük, hogy x és y, valamint z és u azonos paritású. Ekkor viszont a négy négyzetszám összegeként írható

$\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\left(\frac{x-y}{2}\right)^2+\left(\frac{z+u}{2}\right)^2+\left(\frac{z-u}{2}\right)^2$

kiszorozva

$\frac{x^2+y^2+z^2+u^2}{2}$

azaz p (n/2)-szerese, tehát kisebb többszöröse.

Tegyük fel végül, hogy n>1 páratlan és np=x²+y²+z²+u². Legyen x, y, z, u n-nel vett legkisebb abszolút értékű maradéka rendre X, Y,Z,U. Jegyezzük meg, hogy X, Y, Z, U mindegyikének abszolút értéke kisebb n/2-nél (itt használjuk fel, hogy n páratlan). Így

$X^2+Y^2+Z^2+U^2<\left(\frac{n}{2}\right)^2+\left(\frac{n}{2}\right)^2+\left(\frac{n}{2}\right)^2+\left(\frac{n}{2}\right)^2$

ami n²-tel egyenlő. Továbbá X²+Y²+Z²+U² ugyanazt a maradékot adja n-nel osztva mint x²+y²+z²+u², azaz 0-t. Tehát ez az összeg k n-nel egyenlő valamilyen k<n-re.

Az Euler-azonosság szerint

(x 2 + y 2 + z 2 + u 2)(X 2 + Y 2 + Z 2 + U 2) = A 2 + B 2 + C 2 + D 2,

ahol A, B, C, D az azonosság jobboldalán szereplő kifejezések.

A baloldal a fentiek szerint kn²p. Másrészt viszont

$A\equiv x^2+y^2+z^2+u^2\equiv 0\pmod{n}$

$B\equiv xy-yx+zu-zu\equiv 0\pmod{n}$

és hasonlóan

$C\equiv D\equiv 0 \pmod{n}.$

Ezért A,B,C,D mindegyikét leoszthatjuk n-nel, amiből az adódik, hogy kp négy négyzetszám összege.

[szerkesztés] Más bizonyítások

A tételnek számos további bizonyítása van. Lehet igazolni geometriai számelméleti módszerekkel, kvaterniók segítségével (Hurwitz). Jacobi 1829-ben a

$\vartheta_3(0,x)=1+2x+2x^4+2x^9+2x^{16}+\cdots$

függvény negyedik hatványának együtthatóit vizsgálva az elliptikus függvények segítségével mutatta meg a tételt, sőt azt is bebizonyította, hogy ha n természetes szám, akkor