Nash-egyensúly

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A játékelméletben Nash-egyensúlynak nevezzük azt a stratégiaegyüttest, amelyre igaz, hogy a játékosok kölcsönösen a legjobb választ adják egymás stratégiáira. Ez azt jelenti, hogy amennyiben a többi játékos nem változtat stratégiáján, az adott játékosnak sem érdemes változtatnia.

[szerkesztés] Névadója

Nevét az őt felfedező John Forbes Nash amerikai matematikusról kapta, aki ezért az eredményéért a magyar származású Harsányi Jánossal és Reinhard Seltennel közösen 1994-ben Közgazdasági Alfred Nobel-emlékdíjat kapott.

[szerkesztés] Matematikai definíciója

Egy $n$ -szereplős $J$ - játékot adottnak tekintünk, ha adottak a $Σ i$ stratégiahalmazok ( $i \in \{1, ..., n\}$ ), valamint az ezeken értelmezett $H i (σ 1,...,σ i,...,σ n)$ hasznosságfüggvények ( $\sigma_{i} \in \Sigma_{i}$ ).

Ha létezik $(\sigma^*_{1},...,\sigma^*_{n})$ stratégiapont, amely mellett minden $i \in \{1, ..., n\}$ szereplőre igaz az, hogy

$H_i(\sigma^*_{1},..., \sigma^*_{i},..., \sigma^*_{n}) \geq H_i(\sigma^*_{1},...,\sigma_{i},..., \sigma^*_{n})$

bármely $\sigma_{i} \in \Sigma_{i}$ stratégiára, a pontot Nash-egyensúlynak nevezzük.

Egy játéknak lehet Nash-egyensúlya a tiszta stratégiák halmazán, vagy lehet Nash-egyensúlya a kevert stratégiák (azaz amikor bizonyos fix gyakorisággal az egyik, bizonyos fix gyakorisággal pedig egy másik stratégiát játszik a szereplő) halmazán.

[szerkesztés] Létezése

Nash bebizonyította, hogy ha a kevert stratégiákat is figyelembe vesszük, akkor minden $n$ -szereplős játéknak, amelyben a stratégiák száma véges, létezik Nash-egyensúlya.

[szerkesztés] Egyértelműsége

Bár az egyik leismertebb játék, a fogolydilemma csak egyetlen egyensúlyi ponttal rendelkezik, a legtöbb játéknak több Nash-egyensúlyi pontja is van, így az egyensúly általában nem egyértelmű.

[szerkesztés] Alkalmazásai

A Nash-egyensúly legfőbb alkalmazási területe a közgazdaságtudomány, ahol megjelenése számos kérdés tárgyalását forradalmasította. Olyan helyzetek megoldására ad ugyanis eszközt, ahol az egyes gazdasági szereplők döntései befolyásolják mások döntéseit, és ezt tudják is magukról (stratégiai szituációk).

Néhány konkrét alkalmazási terület:

Árverések
Iparági formák (duopólium, oligopólium modellek)
Piaci kudarcok (közjószág, externália)

[szerkesztés] Példa

Fő szócikk: Nemek harca

Vegyük például a következő játékot, amelynek angol neve „battle of sexes” (magyarra talán családi vitaként, vagy nemek harcaként fordíthatnánk): Anti és Bea együtt járnak, és szombat esti programjukat tervezik. Anti rockkoncertre szeretne menni, Bea viszont otthon szeretne maradni, hogy tanuljon. Egyikük sem szeretné azonban a másik nélkül tölteni az estét. A játékot az alábbi táblázatban foglalhatjuk össze (a sorokban Anti, az oszlopokban Bea választható stratégiáit tüntettük fel, az első szám Anti, a második szám pedig Bea hasznossága):

*Nemek harca*
	Bea koncertre megy	Bea otthon marad
Anti koncertre megy	2, 1	0, 0
Anti otthon marad	0, 0	1, 2

Ez a játék ismét egy szimmetrikus, nem zérus összegű játék. Ha a hasznosságokat alaposan szemügyre vesszük, láthatjuk, hogy egyik játékosnak sincs olyan stratégiája, amely jobb lenne a másiknál függetlenül attól, hogy mit választ a másik játékos. Ezért egyik stratégia sem dominálja a másikat, így domináns egyensúly sincs.

Mit gondolunk, mi lesz a megoldás? Ha Bea tanulni fog, Antinak is érdemesebb otthon maradnia. Ha viszont Anti otthon marad, Beának is érdemes tanulnia. Találtunk tehát egy olyan pontot, amely stabil: egyik játékosnak sem érdemes más stratégiát választania, kilépnie az egyensúlyi pontból (vajon van más ilyen pont is?). Az ilyen egyensúlyt nevezzük Nash-egyensúlynak.