Paritás (fizika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A fizikában a paritásváltás az összes térbeli koordináta egyszerre történő előjelváltását jelenti, amit tértükrözésnek hívunk:

$P: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}-x\\-y\\-z\end{pmatrix}$

P egy 3×3 mátrix reprezentációjának determinánsa -1 lenne, ezért nem redukálható egy forgatásra. A kétdimenziós síkon a paritásváltás ugyanaz, mint egy 180 fokos forgatás.

Tartalomjegyzék

1 A tükrözés csoportja
2 Klasszikus mechanika
3 Kvantummechanika
4 Kvantumtérelmélet
- 4.1 A spinorok tükrözése
5 Összetett részecskék paritása
6 Paritássértés
7 Források
8 Külső hivatkozások

[szerkesztés] A tükrözés csoportja

A paritás a Z₂ Abel-csoportot alkotja a P² = 1 összefüggés miatt. Egy Abel-csoportnak csak egydimenziós ireducibilis ábrázolásai vannak. A Z₂ csoport esetén két ilyen van: az egyiknek páros a paritása (P φ = φ), a másiknak páratlan (P φ = –φ).

Forgatások hatására a klasszikus geometriai objektumok viselkedésük alapján osztályozhatók, vannak skalárok, vektorok és magasabbrendű tenzorok. Ha hozzáadjuk ehhez az osztályozáshoz a paritást, akkor beszélhetünk, pl.:

skalárokról (P = 1) és pszeudoskalárokról (P = – 1) amik forgásinvariánsak
vektorokról (P = – 1) és axiálvektorokról (ritkán pszeudovektorokról) (P = 1) amelyek forgatás hatására mind vektorként transzformálódnak.

[szerkesztés] Klasszikus mechanika

Newton mozgásegyenlete F = ma két vektort tesz egyenlővé, ezért megőrzi a paritást. A gravitációs törvény szintén csak vektorokat tartalmat, ezért az is invariáns. Az impulzusmomentum viszont axiálvektor.

L = r × p ,

P(L) = (–r) × (–p) = L.

A klasszikus elektrodinamikában a ρ töltéssűrűség skalár, az E elektromos térerősség és a j áramsűrűség vektor, de a H mágneses térerősség axiálvektor. A Maxwell-egyenletek viszont invariánsak, mert egy vektor rotációja axiálvektor, s ezzel egyenlő benne a mágneses térerősség.

[szerkesztés] Kvantummechanika

A kvantummechanikában a téridő transzformációk kvantumállapotokra hatnak. A tértükrözés P operátora unitér operátor, ami egy ψ állapotra a következőképpen hat: P ψ(r) ∼ ψ(-r). Igaznak kell lennie, hogy: P² ψ(r) = e^i φ ψ(r), mivel egy általános fázis megfigyelhetetlen, hiszen az abszolutértéknégyzetnek van fizikai jelentése. A nemrelativisztikus kvantummechanikában választhatjuk φ=0-nak és ekkor P²=1, a sajátértékek tehát ±1.

A P² operátor, ami kétszer megfordítja a tér paritását, a téridőt invariánsul hagyja és marad egy belső szabadság, ami elforgathatja a sajátállapotait egy e^i φ fázissal. Ha P² a folytonos fázisforgató U(1) szimmetriának egy e^i Q eleme, akkor e^-i Q/2 is eleme ennek az U(1)-nek és szintén szimmetria. Definiálhatjuk a következőt: P'=Pe^-i Q/2, ami szintén szimmetria és hívhatjuk P'-t a mi paritásoperátorunknak P helyett. Megjegyezzük, hogy P'²=1 és így P' sajátértékei ±1.

Mindig vehetjük olyan állapotok lineáris kombinációját, amelyek páros (+1) vagy páratlan (-1) paritásúak, továbbra is határozott paritású állapotunk lesz. A sokrészecske állapot paritása az egyes állapotok paritásainak szorzata, más szavakkal a paritás multiplikatív kvantumszám.

A kvantummechanikában a Hamilton-függvény (vagy a vele ekvivalens leírásban a Lagrange-függvény) akkor invariáns a paritástranszformációval szemben, ha P felcserélhető vele.

A következők könnyen igazolhatók:

Ha |A> és |B> ugyanolyan paritásúak, akkor <A| X |B> = 0 ahol X a hely operátora.
Egy |L,m> állapotra, ahol L a pálya-impulzusmomentum és m a z-irányú vetülete: P |L,m> = (-1)^L|L, m>.
Ha [H,P] = 0, akkor az ellentétes paritású állapotok között nincs átmenet (ez a paritásmegmaradás).
Ha [H,P] = 0, H nem degenerált sajátállapotai szintén sajátállapotai a paritásoperátornak is, azaz H egy nemdegenerált sajátállapota vagy invaráns P hatására, vagy előjelet vált.

H sajátállapotainak egy része változatlan (invariáns) marad, a többiek előjelet váltanak, amikor a Hamilton-függvény és a paritás operátora felcserélhetők egymással:

P Ψ = c Ψ,

ahol c egy konstnas, P sajátértéke,

P P Ψ = P c Ψ,

Emlékezzünk, hogy P P = 1, ezért:

Ψ = P c Ψ = c P Ψ

Ψ = c c Ψ

Ez a sajátértékre a következő feltételt jelenti

c² = 1

azaz c = ±1.

P Ψ = ±Ψ

[szerkesztés] Kvantumtérelmélet

Ha meg tudjuk mutatni, hogy a vákuumállapot paritásinvariáns (P |0> = |0>),a Hamilton-függvény paritásinvariáns ([H,P] = 0) és a kvantálási feltételek változatlanok paritástranszformáció esetén, akkor minden állapotnak van határozott paritása, ami megmarad minden folyamat során.

A kvantumelektrodinamika paritásinvarianciájához a hatás és a kvantálás invarianciáját kell megmutatnunk. Az egyszerűség kanonikus kvantálást használunk, a vákuumállapot ekkor automatikusan paritásinvariáns. A hatás invarianciája a Maxwell-egyenletekből következik. A kanonikus kvantálás invarianciája kidolgozható és kiderül, hogy az eltüntető operátor tulajdonságaitól függ:

P a(p,±) P⁺ = -a(-p,±)

ahol p egy foton impulzusa és ± a polarizációs állapotát jelzi. Ez azt jelenti, hogy a foton páratlan (-1) paritású. Hasonlóan minden vektorbozon páratlan belső paritású, és minden axiálvektor belső paritása páros.

Ezeket az érveket közvetlenül ki lehet terjeszteni skalárterek elméletére, ami azt mutatja, hogy a skalárok páros (+1) paritásúak, mivel:

P a(p) P⁺ = a(-p).

Ez igaz komplex skalár mezőkre is. A spinorok vizsgálatával megmutatható, hogy a fermionok és antifermionok egymással ellentétes belső paritásúak.

[szerkesztés] A spinorok tükrözése

A spin nagysága és vetülete - mint általában az impulzusmomentumé - nem változik tükrözés hatására, ezért a spinorok - kétkomponensű, azaz Weyl-spinorok - legfeljebb egy számmal szorzódhatnak tükrözés hatására:

$\psi^\alpha \rightarrow P\psi^\alpha$

Kétszeri tükrözés a kezdeti helyzetbe viszi az állapotot, ezt azonban lehet 0°-os és 360°-os forgatásként is értelmezni. Tenzorok esetén ez ugyanazt jelenti, spinorokra azonban a két forgatás különböző, azokat csak 720°-os forgatás viszi ismét önmagukba, 360°-os forgatás esetén a -1-szeresükbe mennek át. Így a tükrözést két különböző módon lehet felfogni:

$P^2=1, \qquad P=\pm 1$

illetve:

$P^2=-1, \qquad P=\pm i$

Nagyon fontos, hogy minden spinorra ugyanazt a definíciót válasszuk, az alábbiakban mi a másodikat használjuk. Ugyanakkor az is látszik, hogy abszolut értelemben egy spinornak nem tulajdoníthatunk paritást, viszont két spinor relatív paritásának már van értelme, amit a belőlük összeállított $ψ α φ α$ skalár paritásaként definiálunk, erre ugyanis a fenti bizonytalanság kiesik.

Nézzük meg a négydimenziós spinorok (Dirac-spinorok, "relativisztikus" spinorok) esetét. L legyen a V sebességű rendszerbe, L' pedig a -V sebességű rendszerbe átvivő Lorentz-transzformáció. Ekkor a P paritásoperátorra teljesül, hogy PL=L'P, P tehát nem lehet az egységmátrixszal arányos (azaz felcserélhető L-lel és L'-vel), mert L és L' nem csak egy szorzószámban különböznek, azaz a négyespinorok sem csak egy számmal szorzódnak tükrözés során. A négyesspinorok felső ("pontozatlan") komponensei az alsó ("pontozott") komponensekbe mennek és megfordítva:

$\xi^\alpha \rightarrow \eta_\dot{\alpha}, \qquad \eta_\dot{\alpha} \rightarrow \xi^\alpha$

a kovariáns ill. kontravariáns megfelelőkre pedig:

$\xi_\alpha \rightarrow -\eta^\dot{\alpha}, \qquad \eta^\dot{\alpha} \rightarrow -\xi_\alpha$

a paritás másik értelmezése estén ugyanezen kifejezések jobb oldalán egy i szorzótényező is fellép:

$\xi^\alpha \rightarrow i\eta_\dot{\alpha}, \qquad \eta_\dot{\alpha} \rightarrow i\xi^\alpha$

$\xi_\alpha \rightarrow -i\eta^\dot{\alpha}, \qquad \eta^\dot{\alpha} \rightarrow -i\xi_\alpha$

a továbbiakban ezt a második definíciót használjuk. A két definíció különbségének akkor van lényeges fizikai különbsége, ha léteznek olyan valódi semleges fermionok, amik saját antirészecskéi is egyben (Majorana-neutrínók).

A $(\xi^\alpha, \eta_\dot{\alpha})$ páros együtt alkotja a négyesspinort vagy bispinort, ami egy fermiont ír le. Két bispinor skalárszorzatát kétféleképpen is felírhatjuk (kétféle előjellel):

$\xi^\alpha\Xi_\alpha \pm \eta_\dot{\alpha}\Eta^\dot{\alpha}$

Pozitív előjellel a kifejezés önmagába, negatívval a -1-szeresébe megy át. Az első skalár, a második pszeudoskalár. Másodrendű bispinort is kétféleképpen lehet definiálni:

$\zeta^{\alpha\dot{\beta}} \sim \xi^\alpha\Eta^\dot{\beta} \pm \Xi^\alpha\eta^\dot{\beta}$

Tükrözés hatására pedig:

$\zeta^{\alpha\dot{\beta}} \rightarrow \pm\zeta_{\alpha\dot{\beta}}$

A pozitív előjelű eset ekvivalens egy vektorral, a negatív előjelű pedig egy axiálvektorral.

Fermion és antifermionja esetén megmutatható, hogy a fentebbi bármelyik paritásdefiníció (P²=1 vagy P²=-1) esetén a pár relatív paritása -1, azaz a pionok belső paritása (kvark-antikvark pár, 0 relatív pálya-impulzusmomentummal) -1.

[szerkesztés] Összetett részecskék paritása

Egyszerűség kedvéért foglalkozzunk kétrészecske-rendszerekkel. Az eredmény azután értelemszerűen általánosítható. A teljes paritás a két részecske sajátparitásának és a hullámfüggvény relatív térbeli mozgásból adódó része paritásának szorzata. Ha a relatív pálya-impulzusmomentum L, akkor ennek járuléka a paritáshoz (-1)^L. A térbeli hullámfüggvény ugyanis gömbfüggvényekkel írható le, s ezeken az illető szimmetria könnyen látszik. Fermionok esetén a sajátparitás nem jól definiált, viszont egy fermion-antifermion rendszer relatív belső paritása -1. Ezért egy fermion-antifermion rendszer teljes paritása (-1)^L+1, egy kétbozon-rendszeré pedig P₁P₂(-1)^L, ahol P_i(i=1,2) a két bozon belső paritása.

[szerkesztés] Paritássértés

A paritás nem szimmetrája az univerzumnak. Bár megmarad az elektromágneses kölcsönhatásban, az erős kölcsönhatásban és a gravitációban, a gyenge kölcsönhatásban sérül. A standard modell a paritássértést királis mértékkölcsönhatásként tartalmazza. Csak a balkezes részecskék és a jobbkezes antirészecskék vesznek részt a gyenge kölcsönhatásban.

A paritássértés felfedezésének érdekes története van. Számos esetben javasolták, hogy a paritás talán sérül, de meggyőző bizonyíték hiányában ezt nem vették komolyan. Egy gondos elméleti áttekintés, amit Tsung Dao Lee és Chen Ning Yang végzett el, azután megmutatta, hogy a paritásmegmaradást igazolták erős és elektromágneses folyamatokban, de gyenge kölcsönhatás esetére ilyen teszteket még nem csináltak. Javasoltak számos lehetséges tesztet. Az egyik ilyen kísérletet Telegdi Bálint végezte el Jerome Friedmannal^[1]. Emellett E. Ambler és Chien-Shiung Wut végzett el egy másik kísérletet. Speciális hűtőberendezésre és szakértőkre volt szükségük, ezért a National Bureau of Standardsben csinálták meg a kísérletet.

1956-1957-ben E. Ambler, R. W. Hayward, D. D. Hoppes, R. P. Hudson és Wu világos jelét látta a paritássértésnek a kobalt-60 β-bomlása esetén. Ahogy a kísérlet lezajlott, és az ellenőrzés még tartott, Wu informálta kollégáit a Columbián az eredményről. Hárman közülük, R.L. Garwin (magyarországi származású, az ötlet tőle ered), Leon Lederman és R. Weinrih módosítottak egy futó ciklotronkísérletet, és azonnal igazolták a paritássértést. Késleltették a publikációt, amíg Wu csoportja kész nem lett, és a két publikáció közvetlenül egymás után jelent meg.

Ezután észrevették, hogy egy 1928-as kísérlet történetesen mutatta a paritássértést a gyenge kölcsönhatásban, de mivel az alkalmas fogalmakat még nem alkották meg addigra, ennek nem volt hatása. A paritássértés felfedezése azonnal megmagyarázta a töltött kaonok τ-θ talányát.