Pell-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Pell-egyenlet az egyik legegyszerűbb diofantoszi egyenlet: x²-dy²=1, ahol d>1 olyan egész szám, ami nem négyzetszám és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusú d értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.

[szerkesztés] A Pell-egyenletek megoldása

Ha az egész d>1 szám nem négyzetszám, akkor irracionális, így Dirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyan x/y racionális szám, hogy

Ha K a után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre

azaz | x² - dy² | értéke mindig legfeljebb K. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjuk L-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszor x maradéka ugyanaz L-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanaz y maradéka L-lel osztva. Kapunk tehát két különböző (x,y) és (X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt

x² − dy² = X² − dY² = L

másrészt x≡X mod L és y≡Y mod L. Ekkor

L² = (x² - dy²)(X² - dY²) = (xX + dyY)² - d(yX - Yx)²

és itt a jobboldali számok, tehát xX+dyY és yX-Yx oszthatók L-lel, tehát Lu és Lv alakúak, végigosztva u² - dv² = 1 adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehát v=0 lehetőségét. Valóban, ekkor yX-Yx=0 azaz x/z=X/Y teljesülne.