Skaláris szorzat

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat egy vektorokkal végzett művelet. Jelölése: a·b vagy <a,b>. Általában két értelmezés használatos, az egyik a geomertriai vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$

Három dimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;$

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

[szerkesztés] Tulajdonságai

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelmben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

kommutatív: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;$
bilineáris: $\mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;$
$\mathbf{a} \cdot (\lambda\cdot\mathbf{b}) = \lambda \cdot (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b});$
pozitív definit: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0$ , és $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}= 0$ akkor és csak akkor ha $\mathbf{a}= \mathbf{0}$

Geometriai vektorok esetén $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$ , azaz önmagával való skalárszotzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

[szerkesztés] Általánosítás

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a $< a, b >$ jelölés.

[szerkesztés] Példák

Az az $\left[a,b\right]$ intervallumon folytonos $\mathbb{R}$ -be képező, négyzetesen integrálható függvények terén értelmezett belső szorzat:

$<f,g>=\int\limits_a^b f(t) g(t) dt$

Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott A bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha két vektor x és y a bázisban felírható:

$\mathbf{x}=x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2+ \dots + x_N \mathbf{a}_N$

$\mathbf{y}=y_1 \mathbf{a}_1 + y_2 \mathbf{a}_2+ \dots + y_N \mathbf{a}_N$

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

$<\mathbf{x},\mathbf{y}>_A = x_1 y_1 + x_2 y_2+ \dots +x_N y_N$

[szerkesztés] Geometriai vonatkozások

Az euklidészi geometriában szoros összfüggés áll fenn a skaláraszorzat és a hoszak, valamint a szögek között. Egy a vektorra a•a a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha b egy másik vektor, akkor

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,$

ahol |a| and |b| jelöli az a és b vektor hosszát, θ pedig az általuk bezárt szög.

Mivel |a|•cos(θ) a vektornak b-re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint a-nak b irányába eső komponensének és bnek a szorzatát.

Mivel cos 90° nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha a és b vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szőgük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

$\theta = \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).$

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../s/k/a/Skal%C3%A1ris_szorzat.html"

Kategóriák: Geometria | Lineáris algebra