Stirling-formula

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.

Eszerint

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

ahol e a természetes logaritmus alapja a $\sim$ jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő.

A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűség-számításban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják.

Tartalomjegyzék

1 Bizonyítás
2 Konvergencia és a formula hibája
3 Stirling formula a Gamma-függvény
4 A Stirling formula konvergens változata
5 A faktoriális logaritmusa
6 Lásd még
7 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Bizonyítás

A formula és annak hibája levezethető a következő módon. A bizonyítást n! logaritmusával kezdjük:

$\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ldots + \ln n$

Ezután felhasználva az Euler-Maclaurin képletet f(x) = ln(x) módon Keressük a közelítő képletet ln(n!)-ra.

$\ln (n-1)! = n \ln n - n + 1 + \frac{\ln n}{2} + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)} \left( \frac{1}{n^{k-1}} - 1 \right) + R$

ahol B_k a Bernoulli-féle számokat jelöli és R az Euler-Maclaurin formula maradéktagja.

Mindkét oldal határértékét véve,

$\lim_{n \to \infty} \left( \ln n! - n \ln n + n - \frac{\ln n}{2} \right) = 1 + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)} + \lim_{n \to \infty} R$

A fenti határértéket y-nal jelölve kapjuk a közelítő képlet logaritmikus alakját:

$\ln n! = \left( n+\frac{1}{2} \right) \ln n - n + y + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)n^{k-1}} + O \left( \frac{1}{n^m} \right)$

ahol O(f(n)) az O jelölés.

Tegyük mindkét oldalt exponenciálissá, és válasszunk egy pozitív egész m-met, mondjuk legyen ez 1. Így a következő alakban kapjuk a formulát egy ismeretlen e^y szorzótényezővel.

$n! = e^y \sqrt{n}~{\left( \frac{n}{e} \right)}^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right)$

Az ismeretlen e^y tényezőt meghatározhatjuk, ha vesszük mindkét oldal határértékét és felhasználjuk a Wallis szorzatot. Így e^y-ra $\sqrt{2 \pi}$ -t kapunk, és ezzel bebizonyítottuk Stirling formuláját:

$n! = \sqrt{2 \pi n}~{\left( \frac{n}{e} \right)}^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right)$

[szerkesztés] Konvergencia és a formula hibája

A Stirling-formula pontosabban,

$n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}$

ahol

$\frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}.$

Stirling képlete tulajdonképpen az első közelítése a következő sornak (a Stirling-sornak):

$n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)$

Ahogy $n \to \infty$ , a részletösszeggel elkövetet hiba aszimptotikusan egyenlő az első elhagyott taggal. Ez a képlet egy példája az aszimptotikus soroknak.

A faktoriális logaritmusának aszimptotikus sorát szintén Stirling-sornak nevezik:

$\ln n!=n\ln n - n + {1\over 2}\ln(2\pi n) +{1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7} +\cdots$

Ebben az esetben az elkövetett hiba az első elhagyott tag előjelével és nagyságával azonos rendű.

[szerkesztés] Stirling formula a Gamma-függvény

Stirling képletét alkalmazhatjuk a Gamma-függvényre is

$\Gamma(z+1) = \Pi(z) = z!\,$

definiálva van minden komplex számra, kivéve a nempozitív egész számokat. Ha $\Re(z) > 0$ akkor

$\ln \Gamma (z) = (z-\frac12)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} + 2 \int_0^\infty \frac{\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1} dt$

Többszöri parciális integrálás a következő aszimptotikus hatványsort adja

$\ln \Gamma (z) = (z-\frac12)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}$

ahol B_n az n-edik Bernoulli-féle számokat jelöli. A képlet igaz ,ha z elég nagy, $|\arg z| < \pi - \epsilon$ abszolút érték mellett, ahol ε pozitív, $O (z - m - 1 / 2)$ hibával, ha az első m tagot használjuk. Így a következő közelítést kapjuk:

$\Gamma(z) = \sqrt{2 \pi/z}~{\left( \frac{z}{e} \right)}^z \left( 1 + O \left( \frac{1}{z} \right) \right)$

[szerkesztés] A Stirling formula konvergens változata

Thomas Bayes mutatta meg, egy levelében John Cantonnak, a Royal Society által publikálva 1763-ban, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[1]

A Stirling-formula konvergens változatának megtalálásához a következőt kell kiszámítanunk:

$\int_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1}\, dt = \ln\Gamma (z) - \left( z-\frac12 \right) \ln z +z - \frac12\ln(2\pi).$