Valószínűségi áram

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A kvantummechanikában a valószínűségi áram (néha valószínűségi fluxus) a valószínűségi sűrűség áramlását írja le. Ha az ember a valószínűségi sűrűséget egy folyadéknak képzeli, akkor a valószínűségi áram ezen folyadék áramlásának erőssége (sűrűség szorozva a sebességgel).

Tartalomjegyzék

1 Definíció
2 Példák
- 2.1 Síkhullám
- 2.2 Részecske egy dobozban
3 A kontinuitási egyenlet származtatása
4 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Definíció

A valószínűségi áramot a következőképpen definiáljuk helybázison:

$\vec j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^*\right)$

ami kielégíti a kontinuitási egyenletet:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0$

ahol a $\rho\,$ valószínűségi sűrűség definíciója:

$\rho = |\Psi|^2 \,$ .

A divergenciatétel miatt a kontinuitási egyenlet a következő integrálegyenlettel ekvivalens:

$\frac{\partial}{\partial t} \int_V |\Psi|^2 dV + \int_S \vec j \cdot \vec {dA} = 0$

ahol $V$ tetszőleges térfogat és $S$ a határfelülete. Ez a kvantummechanika valószínűség-megmaradásának törvénye, ami azt fejezi ki, hogy a részecske megtalálási valószínűsége a $V$ térfogatban úgy növekszik, ahogy a valószínűség beáramlik.

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Síkhullám

A háromdimenzióbeli síkhullám

$\Psi = e^{i\vec k \cdot \vec r}$

valószínűségi árama:

$\vec j = \frac{\hbar}{2mi} \left( e^{-i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{i\vec k \cdot \vec r} - e^{i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{-i\vec k \cdot \vec r} \right) = \frac{\hbar \vec k}{m}.$

ami nem más, mint a részecske impulzusa

$\vec p = \hbar \vec k$

osztva a tömegével, azaz a "sebessége" (amennyibe a kvantummechanikai részecskeének van egyáltalán sebessége). Vegyük észre, hogy a valószínűségi áram nem nulla annak ellenére, hogy a síkhullámok stacionárius állapotok és így

$\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0\,$

mindenhol. Ez mutatja, hogy a részecske "mozgásban" lehet akkor is, ha a térbeli valószínűségi sűrűségének nincs explicit időfüggése.

[szerkesztés] Részecske egy dobozban

Tekintsük egy dimenzióban egy $L$ hosszúságú dobozban levő részecske energia sajátállapotait:

$\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right)$

A kapcsolódó valószínűségi áram:

$j_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0$

mivel $\Psi_n = \Psi_n^*.$

[szerkesztés] A kontinuitási egyenlet származtatása

Vezessük le a kontinuitási egyenletet a valószínűségi áram definíciójából és a kvantummechanika elveiből. Tegyük fel, hogy $\Psi \,$ egy részecske hullámfüggvénye helybázison (azaz $\Psi \,$ $x$ , $y$ , z $z$ függvénye). Ekkor

$P = \int_V |\Psi|^2 dV \,$

annak a valószínűsége hogy a részecske helymérése V-n belüli értéket ad. Ennek időderiváltja

$\frac{dP}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_V |\Psi|^2 dV = \int_V \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) dV$

ahol $V$ alakjáról feltesszük, hogy nem függ az időtől. Vegyük az időfüggő Schrödinger-egyenletet

$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V\Psi$

és fejezzük ki belőle $\Psi\,$ időderiváltját

$\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 \Psi - \frac{i}{\hbar} V \Psi$

Ezt helyettesítsük vissza az előző egyenletbe:

$\frac{dP}{dt} = - \int_V \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right) dV$ .

Használjuk ki a következő azonosságot:

$\nabla \cdot \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) = \vec \nabla \Psi^* \cdot \vec \nabla \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \vec \nabla \Psi \cdot \vec \nabla \Psi^* - \Psi \vec \nabla^2 \Psi^*$

és mivel az első és a harmadik tag kiejtik egymást:

$\frac{dP}{dt} = - \int_V \vec \nabla \cdot \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) dV$

Ha most vesszük $P$ eredeti kifejezését is és észrevesszük, hogy a divergenciaoperátor argumentuma éppen $\vec j$ , akkor azt kapjuk, hogy:

$\int_V \left( \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j \right) dV = 0$

ami a kontimuitási egyenlet integrálalakja. A differenciálalak abból következik, hogy ez az egyenlet minden $V$ térfogatra igaz, és ezért az integrandusnak mindenhol el kell tűnnie:

$\frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0.$