Anello commutativo
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In algebra, un anello commutativo è un anello in cui la moltiplicazione è commutativa. In altre parole, se a e b sono elementi dell'anello allora a×b=b×a.
Molte strutture usate in matematica risultano essere anelli commutativi; il ramo dell'algebra che studia questi oggetti è denotato generalmente con algebra commutativa.
[modifica] Esempi
- L'esempio più importante è l'anello dei numeri interi Z.
- Un campo è un caso particolare di anello commutativo; ad esempio, i campi Q, R, C rispettivamente dei numeri razionali, reali e numeri complessi sono anelli commutativi.
- L'insieme A[x] dei polinomi con variabile x e coefficienti in un anello commutativo A formano un anello commutativo con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi.
- L'insieme F(X, A) delle funzioni da un insieme qualsiasi X ad un anello commutativo A formano un altro anello commutativo con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni, definite nel modo seguente:
- Ogni gruppo ciclico è in realtà un anello commutativo.
- L'insieme A[[x]] delle serie a coefficienti in un anello commutativo A formano un anello commutativo.
[modifica] Anelli non commutativi
Un anello non commutativo è un anello in cui esistono almeno due elementi a e b tali che 
. Ad esempio:
- L'anello M(n, A) delle matrici n x n a coefficienti in un anello A generalmente non è commutativo, anche se A lo è. Ad esempio, tra le matrici 2 x 2 reali abbiamo
[modifica] Proprietà
Un elemento a che divide lo zero (cioè tale che esiste b con ab = 0) è detto divisore dello zero. Un anello in cui l'unico divisore dello zero è lo zero stesso è detto dominio di integrità: l'anello Z è un dominio di integrità. I domini d'integrità sono anelli con proprietà simili a quelle di Z.
