Arco (topologia)
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In topologia, un arco in uno spazio topologico X è una particolare curva individuata da una funzione continua f dall'intervallo unitario I = [0,1] in X
- f : I → X.
[modifica] Definizioni
Il punto iniziale dell'arco è f(0), mentre quello finale è f(1). Se x e y sono due punti di X (anche coincidenti), un "arco da x a y" è un arco in X i cui punti iniziale e finale sono rispettivamente x e y.
Notiamo che un arco non è solamente un sottoinsieme di X, ma una funzione da I in X. In topologia viene a volte anche usato il sinonimo cammino. In matematica viene usato spesso il termine più generico di curva.
Uno spazio topologico X in cui per ogni coppia x e y di punti esiste un arco avente questi come punti iniziale e finale è detto connesso per archi. Ogni spazio topologico si decompone in alcune componenti connesse per archi: l'insieme di queste componenti viene denotato con il simbolo π0(X). Questo simbolo indica il più semplice fra i gruppi di omotopia di X (l'unico che, in verità, non è un gruppo ma semplicemente un insieme). Il gruppo di omotopia più importante, costruito studiando i lacci a meno di omotopia, e che racchiude molte delle proprietà di X è quello successivo: il gruppo fondamentale π1(X).
[modifica] Composizione
Un arco f che inizia in x e termina in y ed un altro arco g che comincia in y e termina in z possono essere composti e dare luogo ad un nuovo arco h = f * g, che si comporta prima come f e poi come g. Per fare ciò, formalmente definiamo h(x) come f(2x) quando x è in [0,1/2], e definiamo h(x) come g(2x - 1) quando x è in [1/2,1].
Notiamo che la composizione di cammini è una delle rare operazioni in matematica a non essere associativa: in effetti (f * g) * h e f * (g * h) hanno lo stesso supporto, ma viaggiano a "velocità diverse": la prima percorre la f in un tempo 1/4, quindi la g in un altro 1/4, e la h in tempo 1/2; la seconda invece percorre la f in tempo 1/2 e le altre due ciascuna in tempo 1/4.
Questo fatto sgradevole viene risolto considerando cammini "a meno di omotopia": questa è l'idea chiave per la costruzione del gruppo fondamentale di uno spazio topologico.
