Brachistocrona
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Il problema della brachistocrona è un famoso problema fisico e matematico.
[modifica] Il problema
Siano A e B due punti fissati. Consideriamo una massa puntiforme M che si muove in un piano verticale su una guida curva che connette due punti A e B[1]; la massa M è soggetta alla forza peso. Il tempo che M impiega per andare dal punto A al punto B (con velocità iniziale nulla) dipende dalla traiettoria, che è determinata dalla forma della guida. Contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, il tempo non risulta minimo se la guida è quella di lunghezza minima fra A e B (cioè una guida rettilinea). La curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata brachistocrona, ossia (curva del) tempo più corto, e la sua determinazione è un esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.
La soluzione del problema è una cicloide che passa dai due punti A e B.
[modifica] Storia
Già Galileo Galilei aveva notato che una sfera arriva prima rotolando lungo un arco di cerchio piuttosto che sulla corda del cerchio, anche se essa è più corta.
Il problema fu però proposto per la prima volta in forma ufficiale da Johann Bernoulli nel 1697. Nell'introduzione al problema Bernoulli accennava al fatto che esso fosse difficoltoso anche per quei matematici che avevano ampliato la matematica con dei teoremi "che (essi dicono) non erano conosciuti da nessuno". È evidente qui l'allusione a Isaac Newton, che aveva dato inizio tre anni prima alla disputa Newton-Leibniz sulla paternità del calcolo infinitesimale (Bernoulli era un accanito sostenitore di Leibniz e denigratore di Newton). Il problema quindi era soprattutto una sfida a Newton. Bernoulli fece circolare il problema in tutta Europa e poco dopo arrivarono tre risposte: una di Leibniz, una di de l'Hopital e una, proveniente dall'Inghilterra e non firmata. Bernoulli riconobbe però subito l'autore: Newton. Si dice addirittura che il grande scienziato inglese risolse il problema in una notte dopo un'estenuante giornata di lavoro.
In seguito anche il fratello e rivale di Johann, Jakob, risolse il problema.
[modifica] Note
- ↑ la guida si suppone priva di attrito; sostituendo il punto materiale con una sferetta che rotola - più facile da realizzare - alcuni parametri del problema cambiano ma nella sostanza il risultato è lo stesso.
