Campo vettoriale hamiltoniano
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In matematica ed in fisica, un campo vettoriale hamiltoniano, dal nome del matematico William Rowan Hamilton, è un particolare tipo di campo vettoriale indotto da una funzione di energia o hamiltoniana.
[modifica] Definizione
Data una funzione differenziabile su un aperto X del piano cartesiano 
:
il campo Hamiltoniano di H è il campo vettoriale che associa ad un punto (x,y) in X il vettore
- F(x,y) = (Hy(x,y), − Hx(x,y))
dove Hx e Hy denotano le derivate parziali di H.
La funzione scalare H che genera il campo Hamiltoniano si chiama hamiltoniana.
[modifica] Proprietà
- Le linee di flusso di un campo Hamiltoniano bidimensionale si trovano tutte all'interno delle curve di livello dell'Hamiltoniana H, cioè nelle curve di equazione cartesiana H(x,y) = c per qualche c reale.
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- Dimostrazione: se φ(t) è una linea di flusso, deve valere l'uguaglianza
,
- quindi H(φ(t)) deve rimanere costante, infatti
.
- Dimostrazione: se φ(t) è una linea di flusso, deve valere l'uguaglianza
- Un campo Hamiltoniano è sempre ortogonale al campo gradiente F della sua Hamiltoniana.
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- Dimostrazione:
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- Dimostrazione:
- Tutti i campi Hamiltoniani sono Solenoidali cioè hanno divergenza ovunque nulla, questo implica che il flusso di un campo hamiltoniano preserva il volume.
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- Dimostrazione: il calcolo della divergenza dà immediatamente
- per il lemma di Schwartz.
- Dimostrazione: il calcolo della divergenza dà immediatamente
