Controesempio di Hilbert sul Teorema di Desargues
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Nel suo influente testo Grundlagen_der_Geometrie ("Fondamenti della Geometria"), David Hilbert sviluppa delle argomentazioni sopra il teorema di Desargues che chiariscono il fatto che esso possa valere o meno in una geometria e che quindi possa servire ad una classificazione delle geometrie.
Nel capitolo V, l'autore anzitutto considera un enunciato che costituisce una variante più forte dell'assioma IV:
- IV*. assioma delle parallele con enunciato più forte. Sia a una qualsiasi retta ed A un punto esterno ad a: allora nel piano determinato da a e da A c'è una e una sola retta che passa per A e non interseca la retta a.
Nel corso del capitolo egli giunge al seguente risultato:
- Teorema: se in una geometria piana sono soddisfatti gli assiomi I 1-3, II, IV* allora la validità del teorema di Desargues è condizione necessaria e sufficiente affinché questa geometria piana possa essere considerata come una parte di una geometria dello spazio in cui siano soddisfatti tutti gli assiomi I, II, IV*.
Questo teorema garantisce una condizione necessaria e sufficiente che permette di stabilire quando una geometria dal piano si può immergere nello spazio, mantenendo le sue proprietà. Hilbert inoltre mostra che esistono geometrie in cui non vale il teorema di Desargues e quindi che non sono estendibili nello spazio.
- Teorema: C'è una geometria piana nella quale sono soddisfatti gli assiomi I 1-3, II, III 1-4, IV*, V, cioè tutti gli assiomi lineari e piani, fatta eccezione per l'assioma III 5, ma nella quale non vale il teorema di Desargues.
Di conseguenza il teorema di Desargues non può essere dedotto in generale dagli assiomi citati; per la sua dimostrazione occorrono necessariamente o gli assiomi dello spazio o l'assioma III 5 sulla congruenza dei triangoli.
Per dimostrare il precedente teorema, Hilbert presenta una geometria non desarguesiana che soddisfa gli assiomi citati. Nella geometria piana di cui abbiamo riconosciuto la validità, scegliamo per assi delle x e delle y due assi perpendicolari e costruiamo una ellisse avente i suoi assi sovrapposti agli assi precedenti e avente semiassi di lunghezza rispettivamente 1 e ½. Chiamiamo F il punto sul semiasse positivo situato a distanza 3/2 dall'origine. Consideriamo l'insieme delle circonferenze che tagliano l'ellisse in quattro punti reali, distinti o coincidenti, e cerchiamo quella avente le intersezioni con il semiasse positivo delle x più lontane dall'origine. Per questo partiamo da una circonferenza qualsiasi che tagli l'ellisse in quattro punti reali e chiamiamo C la sua intersezione con il semiasse positivo delle x. Facciamo ruotare questa circonferenza intorno a C in modo tale che almeno due delle sue intersezioni con l'ellisse siano coincidenti in un punto A, mentre le altre intersezioni restino reali.
Fatto questo, ingrandiamo la circonferenza lasciandola tangente all'ellisse in A: con questa costruzione otteniamo una circonferenza tangente all'ellisse e un secondo punto dove si taglia l'ellisse nel punto quadruplo A: questa circonferenza taglia il semiasse positivo delle x in un punto più lontano dall'origine rispetto a C. Il punto che noi cerchiamo appartiene dunque alle circonferenze bitangenti all'ellisse parzialmente esterne ad essa. Queste circonferenze hanno l'asse delle y come asse di simmetria. Un calcolo semplice mostra che la circonferenza bitangente precedente che passa per il punto dell'ellisse di coordinate a e b taglia il semiasse positivo delle x nel punto di ascissa pari alla radice di (1+3b²). Il valore massimo di questa espressione è ottenuto per b= (1/2); essa è uguale a (1/2) |√7|. Questo valore è inferiore a 3/2. Quindi nessuna circonferenza che taglia l'ellisse in quattro punti passa per F.
Elaboriamo la nostra nuova geometria come segue. Come punti, prendiamo quelli del piano Oxy. Come rette, scegliamo senza modificarle, quelle del piano che non tagliano l'ellisse o che le sono tangenti; al contrario, se una retta g taglia l'ellisse nei punti P e Q, costruiamo la circonferenza passante per P, Q e F. Questa circonferenza non taglia l'ellisse oltre questi punti. Sulla retta g sostituiamo il segmento compreso fra P e Q con l'arco di circonferenza precedente situato all'interno dell'ellisse. Unendo le due semirette contenute in g, aventi origine rispettivamente in P e in Q e l'arco di circonferenza si ottiene un insieme di punti da considerare come una retta della nuova geometria. Consideriamo tutte le rette del piano. Le rette delle nuova geometria soddisfano gli assiomi (I 1,2) e (IV). Considerando l'ordine naturale dei punti sulla nostra retta, risultano validi anche gli assiomi (II),
Diciamo che due segmenti AB e A′B′ sono congruenti se i segmenti AB e A′B′, eventualmente individuati per intero o in parte su un arco di circonferenza, hanno delle lunghezze uguali.
Infine, bisogna definire la congruenza degli angoli. Se almeno uno dei vertici degli angoli da collegare non appartiene all'ellisse, diciamo che gli angoli sono congruenti se lo sono nel senso ordinario del termine. In caso contrario operiamo come segue: siano A, B, C e A′, B′, C′ dei punti appartenenti a due rette, sia D un punto esterno alla retta ABC e D′ un punto esterno alla retta A′B′C′; noi diremo che valgono le seguenti congruenze:
se gli angoli naturali corrispondenti sono legati dalla proporzione
Grazie a queste convenzioni, gli assiomi (III 1-4) sono verificati.
Per mostrare che in questa geometria il teorema di Desargues non è soddisfatto, consideriamo le tre rette ordinarie seguenti: l'asse delle x, l'asse delle y e la retta che passa per i punti di coordinate x = 3/5, y = 2/5 e x = - 3/5, y = - 2/5; questi punti appartengono all'ellisse.
Queste tre rette passano per l'origine; è dunque facile tracciare due triangoli i cui vertici appartengano a queste tre rette e sono situati fuori dall'ellisse. Poiché le rette definite nella nostra nuova geometria non sono concorrenti, si conclude che il teorema di Desargues non è soddisfatto dai due triangoli.
