Derivata mista
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La derivata mista è uno strumento dell'analisi matematica a più variabili. Si ottiene come risultato di alcune derivate parziali di una funzione a variabili reali.
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[modifica] Definizione
[modifica] Ordine due
Sia
una funzione a variabili reali di classe C1(Ω), cioè derivabile con continuità secondo ogni variabile.
Una derivata parziale mista del secondo ordine è il risultato di due derivate parziali effettuate secondo due variabili diverse. In simboli,
oppure 
, con 
diversi.
[modifica] Ordine k
Analogamente, una derivata parziale mista del k-esimo ordine è il risultato di successive derivate parziali
con m + n + ... + p = k; è anche possibile utilizzare la notazione compatta del multi-indice.
È possibile definire una diversa derivata parziale mista per ognuna delle combinazioni con ripetizioni delle n variabili con lunghezza k, cioè in numero di :
dove si sottrae n in quanto è generalmente escluso dalla definizione il caso che una delle variabili si ripeta per tutte le k derivazioni.
La notazione usata in questa definizione si poggia sul teorema di Schwartz, che sotto l'ipotesi di continuità delle funzione derivate parziali, garantisce che il risultato non dipende dall'ordine in cui vengono effettuate le derivate parziali. Ad esempio,
: 
per ogni (x0,y0) in Ω.
[modifica] Voci correlate
- Teorema di Schwartz
- Derivata parziale
- Derivata
- Derivata direzionale
- Funzione di variabile reale
- Notazione multi-indice
- Matrice hessiana
[modifica] Fonti
- Giuseppe Zwirner, Elementi di analisi matematica, Parte seconda, Cedam Padova (1973), pag 92-93
