Equazione irrazionale

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In matematica, un'equazione irrazionale in una incognita è un'equazione algebrica in cui l'incognita compare all'interno del radicando di uno o più radicali. Ad esempio:

$x + \sqrt{2x - 3} = 12$

Non sono invece irrazionali (sebbene alcuni coefficienti siano irrazionali) equazioni come la seguente:

$x^2 + \sqrt{2}x + \sqrt{13} = 1$

dal momento che i radicali non contengono l'incognita x.

Per risolvere questo tipo di equazioni è sufficiente tenere presente il fatto che, elevando entrambi i membri di un'equazione all'n-esima potenza (con n intero e maggiore di 1), si ottiene un'equazione che ammette tutte le soluzioni di quella data, ma, in generale, può ammettere anche altre soluzioni. Vediamo alcuni esempi:

$\sqrt{5x + 1} = 4$

Elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione, si ottiene:

5 x + 1 = 16

che ha come unica soluzione x = 3, che soddisfa anche l'equazione originaria. Sia invece da risolvere l'equazione seguente:

$\sqrt{16 - x} = x - 4$

elevando al quadrato, si ottiene l'equazione:

16 - x = (x - 4) 2

Le soluzioni di questa equazione quadratica sono x = 0 ed x = 7, ma si verifica facilmente che solo la seconda soddisfa l'equazione originaria. In effetti, se si eleva ad un esponente dispari, si ottiene un'equazione equivalente a quella data; se si eleva invece ad un esponente pari, è possibile che si aggiungano delle soluzioni spurie. Infatti, data una relazione della forma:

$A(x) = B(x) \,$

elevando al quadrato si ottiene la forma:

$[A(x)]^2 = [B(x)]^2 \,$

che, portando tutto a primo membro e scomponendo la differenza di due quadrati, si può riscrivere così:

$[A(x) - B(x)] \cdot [A(x) + B(x)] = 0$

Per cui, oltre alle soluzioni dell'equazione di partenza, vi sono anche le eventuali soluzioni dell'equazione:

$A(x) = -B(x) \,$

In definitiva, quando, al fine di eliminare i radicali per ricondursi ad un'equazione razionale, si elevano entrambi i membri di un'equazione ad un esponente pari, bisogna poi ricordarsi di verificare se le soluzioni ottenute risolvano effettivamente l'equazione originaria.

Vediamo adesso alcuni casi particolarmente frequenti di equazioni irrazionali.

Indice

1 Equazione intera con un solo radicale
2 Equazione intera con due radicali quadratici
3 Equazione intera con tre o quattro radicali quadratici
4 Equazione irrazionale fratta
5 Voci correlate

[modifica] Equazione intera con un solo radicale

Questo è sicuramente il caso più semplice. Dopo aver isolato il radicale (facendo in modo che tutti gli altri termini compaiano nell'altro membro dell'equazione), ci si riconduce ad un'equazione di questa forma:

$\sqrt[n]{A(x)} = B(x)$

dove A(x) e B(x) rappresentano due funzioni razionali. In questo caso è sufficiente elevare ad n entrambi i membri per ricondursi ad un'equazione razionale, ricordandosi, qualora n sia pari, di verificare la presenza di eventuali soluzioni spurie.

Ad esempio:

$\sqrt[3]{x^3 + 19} - x = 1$

Dapprima si isola il radicale:

$\sqrt[3]{x^3 + 19} = x + 1$

Elevando al cubo e semplificando, si ottiene l'equazione di secondo grado:

x 2 + x - 6

Le soluzioni di questa equazione sono x = 2 ed x = −3, che sono anche le soluzioni dell'equazione originaria.

[modifica] Equazione intera con due radicali quadratici

Un'equazione intera contenente due radicali quadratici e altri termini razionali si può scrivere nella forma:

$\sqrt{A(x)} \pm \sqrt{B(x)} = C(x)$

In questo caso, è possibile isolare un radicale, oppure si possono riunire entrambi i radicali nello stesso membro e trasportare nell'altro membro i termini razionali. In entrambi i casi, elevando al quadrato si ottiene un'equazione con un solo radicale quadratico, che si può risolvere come trattato nel caso precedente. Vediamo un esempio:

$\sqrt{x^2 + 8} - \sqrt{8 - 4x} = x$

Isoliamo il primo radicale:

$\sqrt{x^2 + 8} = x + \sqrt{8 - 4x}$

Eleviamo al quadrato entrambi i membri:

$x^2 + 8 = x^2 + (8 - 4x) + 2x\sqrt{8 - 4x}$

Semplificando, l'equazione diventa:

$x\sqrt{8 - 4x} = 2x$

Si vede immediatamente che x = 0 è soluzione, per cui, supposto $x / n e q 0$ , possiamo dividere per x:

$\sqrt{8 - 4x} = 2$

Elevando ancora al quadrato si ottiene:

8 - 4 x = 4

La cui soluzione è x = 1. Dal momento che anche questa soluzione soddisfa l'equazione di partenza, le due soluzioni sono 0 ed 1.

[modifica] Equazione intera con tre o quattro radicali quadratici

Un'equazione intera contenente tre radicali quadratici ed altri termini razionali, oppure una contenente quattro radicali quadratici, si risolve riunendo due radicali in uno stesso membro e trasportando tutto il resto nell'altro membro. In questo modo, elevando al quadrato, si ottiene un'equazione che contiene al più due radicali quadratici, rientrando pertanto nei casi precedenti. Ad esempio:

$\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x + 5} = \sqrt{3x} - \sqrt{3x + 2}$

Prima di elevare al quadrato, conviene spostare alcuni radicali (questo passaggio è utile solo al fine di semplificare i calcoli):

$\sqrt{2x + 3} + \sqrt{3x + 2} = \sqrt{3x} + \sqrt{2x + 5}$

Eleviamo al quadrato:

$2x + 3 + 3x + 2 + 2\sqrt{(2x + 3)(3x + 2)} = 3x + 2x + 5 + 2\sqrt{3x(2x + 5)}$

Che, dopo facili calcoli, diventa:

$\sqrt{6x^2 + 13x - 6} = \sqrt{6x^2 + 15x}$

Eleviamo di nuovo al quadrato:

$6x^2 + 13x - 6 = 6x^2 + 15x \,$

Risolvendo quest'equazione si ottiene x = 3, e si verifica facilmente che essa è effettivamente soluzione dell'equazione data.

[modifica] Equazione irrazionale fratta

Se l'equazione irrazionale non è intera, è sufficiente ridurla a forma intera (moltiplicando tutti i termini per il minimo comune multiplo dei denominatori) per rientrare nei casi già visti. Ad esempio:

$\frac{\sqrt{4x + 20}}{4 + \sqrt{x}} = \frac{4 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Moltiplichiamo tutti i termini per $\sqrt{x}(4 + \sqrt{x})$ :

$\sqrt{4x^2 + 20x} = 16 - x$

Eleviamo al quadrato entrambi i membri:

$4x^2 + 20x \,=\, 256 + x^2 - 32x$

Le soluzioni di quest'equazione quadratica sono $x = -\frac{64}{3}$ ed $x = 4$ . Tuttavia, la prima delle due soluzioni non è accettabile, dal momento che deve essere x ≥ 0. L'unica soluzione dell'equazione iniziale è perciò x = 4.