Equazioni di Beltrami

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Le equazioni di Beltrami sono delle equazioni utilizzate per la risoluzione di un generico problema elastico in tre dimensioni trattato in teoria dell'elasticità. Per la risoluzione del problema elastico nei solidi, uno degli approcci che si può seguire è il così detto metodo degli sforzi. Detti $σ$ le componenti del vettore sforzo ed $ε$ le componenti della deformazione valgono le seguenti equazioni dette rispettivamente equazioni di equilibrio e di congruenza:

$\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{xz}}{\partial z}+F_{x}=0$

$\frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{yz}}{\partial z}+F_{y}=0$

$\frac{\partial\sigma_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}+F_{z}=0$

$\frac{\partial^{2}\epsilon_{xy}}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2}\epsilon_{xx}}{ \partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\epsilon_{yy}}{ \partial x^{2}}$

dove le x,y,z sono le coordinate di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, le F sono le componenti della forza esterna applicata lungo la terna degli assi. Utilizzando la legge generalizzata di Hooke si perviene alle equazioni di Beltrami per il problema elastico tridimensionale

$\nabla^{2}\sigma_{xx}+\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\frac{\partial^{2}\Theta}{\partial x^{2}}=-\left(\frac{\nu}{1-\nu}\right)\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\right)-2\frac{\partial F_{x}}{\partial x}$ $\nabla^{2}\sigma_{yy}+\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\frac{\partial^{2}\Theta}{\partial y^{2}}=-\left(\frac{\nu}{1-\nu}\right)\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\right)-2\frac{\partial F_{y}}{\partial y}$ $\nabla^{2}\sigma_{zz}+\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\frac{\partial^{2}\Theta}{\partial z^{2}}=-\left(\frac{\nu}{1-\nu}\right)\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\right)-2\frac{\partial F_{z}}{\partial z}$ $\nabla^{2}\sigma_{xy}+\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\frac{\partial^{2}\Theta}{\partial x \partial y}=-\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial y}+\frac{\partial F_{y}}{\partial x}\right)$ $\nabla^{2}\sigma_{yz}+\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\frac{\partial^{2}\Theta}{\partial y \partial z}=-\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial z}+\frac{\partial F_{z}}{\partial y}\right)$ $\nabla^{2}\sigma_{xz}+\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\frac{\partial^{2}\Theta}{\partial x \partial z}=-\left(\frac{1}{1+\nu}\right)\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}+\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right)$

dove $ν$ è il modulo di Poisson e $Θ = σ x x + σ y y + σ z z$ . Queste equazioni, con relative condizioni al contorno, definiscono il problema elastico tridimensionale

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../e/q/u/Equazioni_di_Beltrami_4568.html"

Categoria: Meccanica classica

Equazioni di Beltrami

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

[modifica] Voci correlate

Views

Navigazione

comunità

Ricerca