Funzione decrescente

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Siano I un intervallo aperto, $y \in I, \ f: I \to \R$ . Si dice che f è una funzione decrescente in y, o anche funzione monotona decrescente in y, se esiste un'intervallo J contente y tale che se $x \,<\, y \,<\, z$ e $x,z \in J$ allora:

$f(z) \,<\, f(y) \,<\, f(x)$ .

Per semplice estensione si definisce la nozione di funzione decrescente in un intervallo.

Una tipica funzione decrescente per ogni punto dell'asse reale e per ogni intervallo reale è la funzione esponenziale decrescente $\,e^{-x}\,$ .

La funzione trigonometrica cotangente $\,\cot x\,$ risulta invece decrescente in ogni punto e in ogni intervallo nel quale è definita, cioè per ogni reale che non sia della forma $\,k\pi\,$ con k intero e per ogni intervallo che non contiene alcuno dei reali suddetti.

A sua volta la funzione cotangente iperbolica risulta decrescente per ogni reale diverso da 0 e per ogni intervallo costituito solo da numeri negativi o positivi.

Esiste una correlazione stretta tra monotonia di una funzione continua e la sua derivata. Sia $I \in \R$ un intervallo, sia $f(x): I \to \R$ continua nell'intervallo $I\;$ . Sia $f'(x)\;$ la derivata della funzione $f(x)\;$ . Allora la derivata $f'(x)\;$ è negativa (strettamente) per qualsiasi valore di $x\in\R\;$ se e solo se $f(x)\;$ è decrescente (monotona) per qualsiasi valore di $x\in\R\;$ .

La monotonia di una funzione è una condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità della stessa: non importa che la funzione sia crescente o decrescente in un intervallo $I\;$ , ma se è monotona in $I\;$ è sicuramente invertibile. Non è ad esempio invertibile la funzione $f(x)=sin(x)\;$ perché è oscillante tra $-1\;$ e $1\;$ ; essa è tuttavia monotona a intervalli: è quindi invertibile ad esempio nell'intervallo $T [\frac {\pi}{2}; \frac {3}{2}\pi]\;$ in cui è strettamente decrescente, oppure nell'intervallo $I [-\frac {\pi}{2}; \frac {\pi}{2}]\;$ in cui è strettamente crescente (se la funzione seno è invertita nell'intervallo $[-\frac {\pi}{2}; \frac {\pi}{2}]\;$ , prende nome di funzione arcoseno).