Funzione ricorsiva

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Nella logica matematica e nell'informatica, le funzioni ricorsive sono una classe di funzioni dai numeri naturali ai numeri naturali che sono "calcolabili" in un qualche senso intuitivo. Infatti nella teoria della calcolabilità si mostra che le funzioni ricorsive corrispondono precisamente a quelle funzioni che possono essere calcolate tramite una macchina di Turing.

La funzioni ricorsive sono un sovrainsieme delle funzioni ricorsive primitive, ed infatti la loro definizione induttiva (come vedremo nel seguito) è costruita a partire da quella di queste ultime. Esistono quindi funzioni ricorsive che non sono anche ricorsive primitive, e l'esempio più noto è quello della funzione di Ackermann.

Altre classi di funzioni equivalenti a quella delle funzioni ricorsive sono le funzioni λ-ricorsive e le funzioni che possono essere calcolate da un algoritmo di Markov.

Indice

1 Definizione
2 Esempi di funzioni ricorsive
3 Limitazioni: funzioni non ricorsive
- 3.1 Il problema della fermata
  - 3.1.1 Teorema
  - 3.1.2 Dimostrazione
- 3.2 Altre funzioni non primitive ricorsive
4 Bibliografia
5 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione

[modifica] Esempi di funzioni ricorsive

[modifica] Limitazioni: funzioni non ricorsive

Non tutte le funzioni sono calcolabili, cioè ricorsive. Ecco alcuni esempi.

[modifica] Il problema della fermata

[modifica] Teorema

Consideriamo una qualunque enumerazione delle funzioni ricorsive, in cui la funzione $\varphi_i$ corrisponde alla $i + 1$ -esima funzione ricorsiva. Cioè detta $f$ la $i + 1$ -esima funzione ricorsiva, abbiamo:

$\varphi_i(y) = f(y)$

Allora, non esiste nessuna funzione ricorsiva $g$ tale che per ogni $x$ e $y$

$g(x, y) = \begin{cases} 1 & \mbox{se } \varphi_i(y) \mbox{ } \grave{e} \mbox{ definita} \\ 0 & \mbox{altrimenti } \end{cases}$

Questo problema è una formulazione del problema della fermata. Si veda l'apposita sezione nell'articolo sugli insiemi ricorsivi per una formulazione alternativa.

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo per ipotesi che $g$ sia ricorsiva. Allora lo sarebbe anche una funzione $h$ così definita:

$h(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{se } g(x, x)=0 \mbox{, cio} \grave{e} \mbox{ se } \varphi_x(x) \mbox{ non } \grave{e} \mbox{ definita} \\ indefinita & \mbox{ altrimenti} \end{cases}$

Diciamo che nell'enumerazione delle funzioni ricorsive che abbiamo dato, $e$ sia l'indice della funzione $h$ , e che quindi $h = \varphi_e$ .
Se passiamo l'indice $e$ (che è un numero naturale) come parametro alla funzione $h$ , abbiamo $h(e) = \varphi_e(e)$ .
Per la definizione di $h$ abbiamo che $h = 1$ se e solo se $g (e, e) = 0$ .
Ma per la definizione di $g$ abbiamo che $g (e, e) = 0$ se e solo se $\varphi_e(e)$ non è definita.
Ricapitolado $\varphi_e(e) = h(e) = 1$ se e solo se $g (e, e) = 0$ , che è come dire che $\varphi_e(e) = 1$ se e solo se $\varphi_e(e)$ non è definita, che è assurdo.
Quindi questa dimostrazione per assurdo mostra che l'ipotesi iniziale " $g$ è ricorsiva" è falsa.

[modifica] Altre funzioni non primitive ricorsive

Funzione di Ackermann

[modifica] Bibliografia

Giorgio Ausiello, Fabrizio d’Amore, Giorgio Gambosi; FrancoAngeli Editore: Linguaggi, Modelli, Complessità (2003) (ISBN 88-464-4470-1)
Brainerd, W.S., Landweber, L.H. (1974), Theory of Computation, Wiley, ISBN 0471095850