Gruppo di Poincaré
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In fisica ed in matematica il gruppo di Poincaré è il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski. È un gruppo di Lie non compatto a 10 dimensioni. Il gruppo abeliano di traslazioni è un sottogruppo normale mentre il gruppo di Lorentz è un sottogruppo, uno stabilizzatore di un punto. Pertanto, l'intero gruppo di Poincaré è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz.
Si può anche dire che il gruppo di Poincaré sia un gruppo di estensione del gruppo di Lorentz determinato dalla sua rappresentazione vettoriale.
Le sue rappresentazioni di energia positiva unitaria sono indicate dalla massa (numero non negativo) e dallo spin (intero o mezzo) e, nella meccanica quantistica sono associate a particelle.
In accordo con il programma di Erlangen, la geometria dello spazio di Minkowski è definita dal gruppo di Poincaré: lo spazio di Minkowski è considerato per il gruppo come uno spazio omogeneo.
L'algebra di Lie del gruppo di Poincaré soddisfa le seguenti equazioni:
![[P_\mu, P_\nu] \,=\, 0](../../../math/0/6/3/0632920c5d81910d082d1fd8ea15e16a.png)
![[M_{\mu\nu}, P_\rho] \,=\, \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu](../../../math/2/d/0/2d04c7af144c7769a88e6662a6efc282.png)
![[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] \,=\, \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\nu} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}](../../../math/4/6/e/46e7cfe4d2d940578a18b6c2cfc2fd30.png)
dove il vettore P è il generatore delle traslazioni e il tensore M è il generatore delle trasformazioni di Lorentz.
