Identità di Jacobi
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In matematica e in fisica per identità di Jacobi si intende la relazione della seguente forma:
![\,[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0\,](../../../math/3/d/f/3df78db7babcf7c106b7cee31278fe25.png)
.
Questa identità può essere presa in considerazione per qualsiasi anello intendendo che sia ![\,[X,Y]:=X\cdot Y-Y\cdot X\,](../../../math/e/0/4/e045d178473e65c6982bc9871705636f.png)
, cioè che le parentesi quadrate caratterizzino l'anticommutatore degli elementi dell'anello.
In particolare l'identità può essere presa in considerazione quando X, Y e Z sono elementi di un'algebra e, ancora più in particolare, quando X, Y e Z denotano matrici quadrate su un campo. Una tale algebra in genere non è anticommutativa.
L'identità di Jacobi interviene anche nella definizione dell'algebra di Lie come assioma per la legge di composizione data dalla scrittura ![\,[X,Y]\,](../../../math/2/8/2/282647bdab3250473b43fe39bd775159.png)
. In una esposizione generale questa composizione viene trattata assiomaticamente, in una applicazione viene definita costruttivamente. Applicazioni di rilievo si hanno nella meccanica analitica e nella meccanica quantistica.
[modifica] Voci correlate
- Algebra di Lie
- Identità del triplo prodotto di Jacobi
- Identità super Jacobi per una superalgebra di Lie
- Parentesi di Poisson
