Identità vettoriali

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Qui di seguito verranno presentate alcune identità vettoriali, cioè delle uguaglianze riguardanti campi vettoriali e campi scalari che risultano verificate indipendente dalle variabili scelte.

Queste relazioni risultano utili nei problemi di calcolo vettoriale, ad esempio nella derivazione delle onde elettromagnetiche a partire dalle equazioni di Maxwell.

Nel testo indicheremo con f, g i campi scalari e con A, B, C i campi vettoriali.

Indice

1 Identità vettoriali generiche
- 1.1 Triplo prodotto
2 Proprietà degli operatori vettoriali
3 Combinazione di operatori vettoriali
4 Altre identità
5 Voci correlate

[modifica] Identità vettoriali generiche

[modifica] Triplo prodotto

$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$

da cui si ha

$(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{D}) - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{D}) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})$

ed in particolare

$(\mathbf{A} \times \mathbf{B})^2 = \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2$

[modifica] Proprietà degli operatori vettoriali

[modifica] Proprietà distributiva

$\nabla (f+g) = \nabla f + \nabla g$

$\nabla \cdot ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B}$

$\nabla \times ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B}$

[modifica] Proprietà del prodotto scalare

$\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})$

[modifica] Proprietà del prodotto vettoriale

$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \nabla \times \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{B}$

$\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$