Introduzione classica dei tensori

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Quella che segue è una introduzione "classica" dei tensori' che pone l'accento sulle componenti base di tali entità. Un trattamento astratto più moderno è presentato nell'articolo Trattamento delle componenti libere dei tensori, mentre un approccio che collega i due precedenti è esposto nella Trattazione intermedia dei tensori.

Nelle formule di questa pagina si adotta completamente la convenzione di Einstein per la sommatoria. Per un aiuto alla comprensione delle notazioni, si può fare riferimento alla tavola di simboli matematici.

Indice

1 Tensori e loro componenti
2 Tensori controvarianti e covarianti monodimensionali
3 Tensori generali
4 Vedi anche:
5 Bibliografia

[modifica] Tensori e loro componenti

La nozione di tensore è una generalizzazione delle nozioni di vettore e di matrice. Un tensore, come un vettore, è un'entità associata ad un determinato spazio; lo spazio può essere riferito a diversi sistemi di coordinate; in ciascuno di questi riferimenti un vettore viene espresso con una sequenza di componenti numeriche; un tensore, più in generale, viene espresso con uno schieramento ipercubico di numeri. Al mutare del sistema di riferimento le componenti di un tensore, come quelle di un vettore, sono modificate da trasformazioni che derivano dalle trasformazioni delle coordinate.

Le trasformazioni sono tali che i tensori permettono di esprimere una legge geometrica o una legge fisica in una forma che nelle sue linee generali risulta indipendente dal sistema di riferimento. Per questa ragione essi sono usati estensivamente in meccanica dei continui e in teoria della relatività.

Consideriamo due sistemi di coordinate: il primo, che chiameremo vecchio, è caratterizzato da coordinate non barrate ( $\,x^i\,$ ); il secondo, che diremo nuovo, è caratterizzato da coordinate barrate ( $\,\bar{x}^i\,$ ); Nel primo sistema di riferimento il complesso delle componenti di un generico tensore ha la forma

$T^{\left[i_1,i_2,i_3,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,j_3,...j_q\right]}$

Gli indici superiori [ $i 1, i 2, i 3,... i p$ ] riguardano le componenti controvarianti, e gli indici inferiori [ $j 1, j 2, j 3,... j q$ ] le componenti covarianti. Il precedente è un tensore con p dimensioni controvarianti e q dimensioni covarianti; p+q si dice ordine del tensore.

[modifica] Tensori controvarianti e covarianti monodimensionali

La trasformazione delle componenti di un tensore controvariante di ordine 1 ( $T i$ ) è definita come:

$\bar{T}^i = T^r\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^r}$

La trasformazione delle componenti di un tensore covariante di ordine 1 ( $T i$ ) è definita da:

$\bar{T}_i = T_r\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^i}$

[modifica] Tensori generali

Un tensore di ordine maggiore di 1 (generale) è semplicemente il prodotto tensoriale di singoli tensori ordinati:

$T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]} = T^{i_1} \otimes T^{i_2} ... \otimes T^{i_p} \otimes T_{j_1} \otimes T_{j_2} ... \otimes T_{j_p}$

tale che:

$\bar{T}^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]} = T^{\left[r_1,r_2,...r_p\right]}_{\left[s_1,s_2,...s_q\right]} \frac{\partial \bar{x}^{i_1}}{\partial x^{r_1}} \frac{\partial \bar{x}^{i_2}}{\partial x^{r_2}} ... \frac{\partial \bar{x}^{i_p}}{\partial x^{r_p}} \frac{\partial x^{s_1}}{\partial \bar{x}^{j_1}} \frac{\partial x^{s_2}}{\partial \bar{x}^{j_2}} ... \frac{\partial x^{s_q}}{\partial \bar{x}^{j_q}}$