Ipsometrica

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

[modifica] Formula Ipsometrica

Attraverso la formula ipsometrica è possibile ricavare la variazione di pressione in quota, inoltre, con la stessa, è anche possibile stabilire la distanza fra due superfici isobariche note.

Per ricavare la formula da cui partire occorre tener presente la legge di Stevino, la quale afferma che in un fluido, la pressione dipende dalla densità, dall'accelerazione gravitazionale e dalla quota "z"; in formula:

$P = p g h$

Consideriamo una colonna d'aria alla cui sommita vi è la pressione $P 1$ e nella parte inferiore la pressione $P 2$

facendo la differenza tra i due termini e considerando la superficie unitaria, ricaviamo:

$P_2-P_1=\rho gz_2-\rho gz_1=\rho g \left ( z_2-z_1 \right )$

otteniamo quindi:

$dp = ρgdz$

A tal punto se consideriamo la densità dell'aria costante, si ottine un modello di atmosfera detto "Atmosfera omogenea" $P=P_0- \rho g \left ( z_2-z_1 \right )$

I nostri fini però, sono ben altri, difatti quest'ultima equazione approssima eccessivamente l'atmosfera reale, nella quale, la densità varia con la quota.

Continuiamo scrivendo la già nota legge dei gas perfetti

$P V = R T$

scrivendo il volume in funzione della densità, si ottiene:

$P \frac{ m }{ \rho } = RT$

anche in questo caso consideriamo la massa unitaria, ricaviamo dunque:

$\frac{P}{ \rho} =RT$ ⇒ $\rho = \frac{P}{RT}$

riprendendo ora la precedente equazione:

$dp = ρgdz$

e sostituendo il termino $ρ$ con quello calcolato attraverso la legge dei gas perfetti, si ottiene:

$dp= - \frac{P}{RT} gdz$

quindi:

$\frac{dp}{p} = - \frac{g}{RT} dz$

Quella ottenuta è una equazione differenziale di primo grado, in cui le incognite sono la pressione p e la temperatura T alla quota z

A questo punto, si può procedere in due modi, o considerando la temperatura costante con la quota oppure considerando il gradiente termico verticale costante.

Cominciamo a sviluppare la suddetta equazione, secondo la prima ipotesi, costruiremo così un modello di atmosfera isoterma

$\frac{dp}{p} = - \frac{g}{RT} dz$

$T = K o s t$

$\frac{dp}{p} = - \frac{g}{RT} \left ( z_2-z_1 \right )$

$\log\left ({\frac{p}{p_0}}\right ) = - \frac{g}{RT} \left ( z_2-z_1 \right )$

Risolvendo rispetto a $\left ( z_2-z_1 \right )$ otteniamo la formula ipsometrica

$\left ( z_2-z_1 \right ) = \log\left ({\frac{p}{p_0}}\right ) \left (- \frac{RT}{g} \right )$

Con quest'ultima formula è possibile calcolare la distanza che vi è fra due superfici isobariche, nel caso in cui la temperatura rimane costante con la quota.

Sviluppando la stessa in altri termini, è possibile determinare, come precedentemete detto, la pressione ad una determinata quota.

Riprendiamo dunque la precedente formula:

$\log\left ({\frac{p}{p_0}}\right ) = - \frac{g}{RT} \left ( z_2-z_1 \right )$

$e^{\ln{}} \left ({\frac{p}{p_0}}\right ) = e^{-g/RT \left ( z_2-z_1 \right )}$

semplificando otteniamo:

${\frac{p}{p_0}} = e^{-g/RT \left ( z_2-z_1 \right )}$

ed infine:

$p = p_0e^{-g/RT \left ( z_2-z_1 \right )}$

Si è ora in grado di calcolare il valore della pressione ad una determinata quota, tenendo presente l'ipotesi che la temperatura, rimane costante con la quota.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../i/p/s/Ipsometrica.html"

Ipsometrica

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

[modifica] Formula Ipsometrica

Views

Navigazione

comunità

Ricerca