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Logaritmo complesso - Wikipedia

Logaritmo complesso

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce di matematica è solo un abbozzo: contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia.

Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.

Per i numeri reali si ha la seguente relazione:

$y = \ln (x) \Leftrightarrow x = e^y \mbox{ con } x, y \in \mathbb{R}$

Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:

$w= \log (z) \Leftrightarrow z = e^w \mbox{ con } w, z \in \mathbb{C}$

Quest'ultima relazione permette di ottenere la formula risolutiva di $\log (z) \,\!$

si scrive $z$ in forma esponenziale

$z = \rho e^{i \theta} \,\!$

Quindi

$z = \rho e^{i \theta} = e^w = e^{u+iv} = e^u \cdot e^{iv}\,\!$

Dove u e v rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria di $\log (z) \,\!$

$|z| = \rho = e^u \Longrightarrow u = \ln |z|$

$e^{i \theta} = e^{iv} \Longrightarrow v = \arg (z)$

Si può quindi scrivere

$\log (z) = \ln |z| + i \arg(z)$

Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che $\arg(z)$ contiene tutti i numeri del tipo $\theta + 2k \pi\,\!$ . Per tale motivo esso non è propriamente una funzione.

[modifica] Logaritmo principale

Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:

$\log (z) = \ln |z| + i \arg(z) \mbox{ con } 0 \le \arg(z) < 2 \pi$

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../l/o/g/Logaritmo_complesso.html"

Categorie: Stub matematica | Funzioni speciali | Analisi complessa

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