Logaritmo naturale

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Grafico di f(x)=ln(x)

Il logaritmo naturale, descritto per la prima volta da Nepero, è il logaritmo in base e, dove e è uguale a 2,71828... Il logaritmo naturale è definito per tutte le x reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.

Indice

1 Convenzioni
2 La funzione inversa dell'esponenziale in base e
3 Definizione
4 Derivata, serie di Taylor e argomenti complessi
5 Integrali e regole di integrazione
- 5.1 Esempi
6 Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base
7 Voci correlate

[modifica] Convenzioni

I matematici sono soliti utilizzare la scrittura "ln(x)" o "log(x)" per intendere log_e(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log₁₀(x) è il logaritmo in base 10 di x).
Ingegneri, biologi e altre professioni generalmente scrivono "ln(x)" o (raramente) "log_e(x)" per intendere il logaritmo naturale di x, mentre per "log(x)" sottointendono log₁₀(x) o, nel calcolo, log₂(x).
Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottointendono il logaritmo naturale.
Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base 10.

[modifica] La funzione inversa dell'esponenziale in base e

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale:

$e^{\ln(x)} = x \,\!$ per tutte le x positive e

$\ln(e^x) = x \,\!$ per tutte le x reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base positiva escluso 1, non solo e, e possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

[modifica] Definizione

Definizione: Logaritmo naturale

Si definisce logaritmo naturale di a l'area sottesa dal grafico (integrale) di 1/x da 1 a a, cioè,

$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!$

Questo può essere dimostrato definendo $φ(t) = a t$ e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b)$

Il numero e può essere definito come l'unico numero reale a tale che $ln(a) = 1$ .

In alternativa, se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che ln(x) è il numero per cui $e ln(x) = x$ . Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e dacché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le x positive e reali.

[modifica] Derivata, serie di Taylor e argomenti complessi

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da:

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,$

Quindi la serie di Taylor è:

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm per}\quad \left|x\right|<1,$

Una scrittura alternativa della funzione ln(x) stessa è

$\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n = x - 1 - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots \quad{\rm per}\quad 0<x<2,$

[modifica] Integrali e regole di integrazione

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma g(x) = f '(x)/f(x) che si traducono nella scrittura ln(|f(x)|): l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

$\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.$

Cioè

$\int { dx \over x} = \ln|x| + C$

$\int { {f^'(x) \over f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.$

[modifica] Esempi

Se g(x) = tg(x), allora:

$\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx$

$\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.$

Se f(x) = cos(x) e f'(x) = sen(x), allora:

$\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C$

$\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C$

dove C è la costante arbitraria degli integrali indefiniti.

[modifica] Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base 10. E' ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di 10):