Logica polivalente
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Le logiche polivalenti sono estensioni della logica classica in cui sono presenti più valori di verità rispetto ai canonici VERO, FALSO e pertanto in esse non vale il principio del terzo escluso. Le prime logiche polivalenti furono proposte negli anni 1920 da Emil Post e da Jan Łukasiewicz e in esse erano presenti tre valori di verità: VERO, FALSO, PROBLEMATICO.
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[modifica] Logiche ad infiniti valori di verità
Successivamente si è giunti a proporre logiche ad infiniti valori di verità quali:
- la logica ad infiniti valori di Lukasiewicz;
- la cosiddetta logica fuzzy di Zadeh;
- la logica (fuzzy) polivalente di Goedel;
- la logica (fuzzy) prodotto.
[modifica] Logica polivalente di Goedel
In tale formulazione si hanno le seguenti::
se v(x) = 0 e 0 altrimenti.
[modifica] Logica polivalente prodotto
In tale formulazione si hanno le seguenti::
- se v(x) = 0 e 0 altrimenti.
[modifica] Logiche polivalenti e doppia negazione
È interessante osservare come nelle logiche "fuzzy" di Goedel e "fuzzy" prodotto si neghi il principio della doppia negazione, come anche nella logica intuizionista, al fine di mantenere vera la forma standard del principio di non-contraddizione. In particolare, a causa della particolare definizione dell'operatore NOT si hanno:
- P → ¬¬P è un teorema
- ¬¬P → P non è teorema.
- ¬P → ¬¬¬P è un teorema.
- ¬¬¬P → ¬P è un teorema.
[modifica] Logiche generiche. T-norma
Una T-norma o norma triangolare o AND generalizzato è una applicazione T : [0,1] × [0,1] → [0,1] che soddisfa i seguenti requisiti:
- Commutatività: T(a, b) = T(b, a);
- Monotonia: T(a, b) ≤ T(c, d) if a ≤ c and b ≤ d;
- Associatività: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c);
- Elemento nullo: T(a, 0) = 0;
- 1 agisce come elemnto identità: T(a, 1) = a.
Le t-norme sono state utilizzate per interpretare il connettivo di congiunzione.
Esempi di t-norme sono il minimo, il prodotto e la t-norma di Lukasiewicz definita da T(x,y)=max(0,x+y-1).
Se la t-norma e' una funzione continua a sinistra, allora e' possibile definire la funzione x → y = max { z : T(x,z) ≤ y } che puo' essere utilizzata per interpretare in connettivo di implicazione. Avendo a disposizione l'implicazione si puo' definire la negazione come ¬x = x → 0.
Nel caso in cui si parte dalla t-norma di Lukasiewicz, si ottiene: x → y = min{ 1 , 1-x+y} (implicazione di Lukasiewicz) e ¬x = 1-x (negazione involutiva).
Nota che la negazione involutiva e' tale che ¬¬x=x.
