Metodo Tight Binding

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Il metodo Tight Binding, in italiano "strettamente legante", rappresenta una metodica di calcolo sfruttata tipicamente per determinare la struttura elettronica e il gap di banda di conduttori e semiconduttori. Il metodo classico si applica al regime statico, ma puà essere ampliato ai casi dinamici introducendo opportuni fattori correttivi.

L'assunto cardine del Tight Binding si fonda sull'approssimazione dell'hamiltoniano H totale del sistema a un hamiltoniano relativo ad un singolo orbitale atomico nello spazio di Hilbert ristretto, similmente al caso di un atomo che occupa un punto fisso in un reticolo di Bravais. Gli orbitali atomici Ψ_n, che sono autofunzioni dell'hamiltoniano atomico singolo H_at, sono considerati di dimensioni molto piccole quando vengono a trovarsi a distanze superiori a quelle corrispondenti alla costante di reticolo (legata alla distanza reciproca della celle elementari). Da ciò deriva il termine "strettamente legante". Ogni correzione al potenziale atomico ΔU, necessaria per ottenere l'hamiltoniano totale del sistema, è significativa solamente quando gli orbitali atomici sono a distanze dal reticolo tali da risultare molto piccoli.

La soluzione dell'equazione di Schrödinger viene ricavata in base alla combinazione lineare di orbitali atomici (LCAO) di un set di base assunto come ortogonale:

$\Psi(\vec{r}) = \sum_{n,\lambda} c_{n,\lambda} \phi_{\lambda}(\vec{r})$ .

Questa soluzione conduce all'uguaglianza

H|Ψ_α 〉= ε_α|Ψ_α 〉

che, sviluppando il set base, fornisce l'equazione matriciale

$\mathbb{H} \mathbb{C}^{\alpha} = \epsilon_{\alpha}\mathbb{C}^{\alpha}$ .

Applicando il teorema di Bloch si ottiene l'equazione agli autovalori

$\mathbb{H}(\vec{K}) \mathbb{C}^{\alpha}(\vec{K}) = \epsilon_{\alpha}(\vec{K}) \mathbb{C}^{\alpha}(\vec{K})$

dove:

$\mathbb{H}(\vec{K}) = \sum_n e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{n}}H(\mathbf{n})$ ;
$\mathbb{C}^{\alpha}(\vec{K})$ è una matrice dei coefficienti;
$\varepsilon_{\alpha}(\vec{k})$ è l'energia di Bloch ed è definita da

$\varepsilon(\vec{k}) = E_m - {\beta_m + \sum_{\vec{R}\neq 0} \gamma_m(\vec{R}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}}\over c_m + \sum_{\vec{R}\neq 0} \alpha_m(\vec{R}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}}}$ , con E_m energia del m-esimo livello atomico;

Gli integrali di sovrapposizione assumono i seguenti valori:

$\beta_m = -\int \psi_m^*(\vec{r})\Delta U(\vec{r}) \phi(\vec{r}) d\vec{r}$ ,

$\alpha_m(\vec{R}) = \int \psi_m^*(\vec{r}) \phi(\vec{r}-\vec{R}) d\vec{r}$ ,

$\gamma_m(\vec{R}) = -\int \psi_m^*(\vec{r}) \Delta U(\vec{r}) \phi(\vec{r}-\vec{R}) d\vec{r}$ .

Il metodo Tight-Binding è molto versatile è può sfruttare calcoli ab initio, metodiche semi-empiriche, molto applicate anche alla dinamica molecolare, ed empiriche in relazione alla complessità del sistema che si vuole studiare e al tipo di simulazione che occorre effettuare.