Numero di Pisot-Vijayaraghavan
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In matematica, il numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) è un intero algebrico α che è reale e maggiore di 1, ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di 1 in valore assoluto.
Se ad esempio α è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato α′, ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in α da
con a and b entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato
In questo caso si hanno le due condizioni
che sono soddisfatte dal numero aureo φ. Abbiamo infatti
Nel caso i coniugati siano non maggiori di 1, e uno di essi abbia valore assoluto esattamente 1, il numero è detto numero di Salem.
Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantina. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni '20 per lavorare con Hardy. La stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.
I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza n-sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di φ: abbiamo φ21 = 24476.000409, e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.
Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni n la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico x e dei suoi coniugati è un numero interno. Se x è un numero di Pisot, le potenze n-sime degli altri coniugati tendono a 0 per n che tende a infinito.
Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione x3 − x − 1: questo numero (approssimativamente 1.324718) è noto anche come numero d'argento.
Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo 
.
[modifica] Tabella dei numeri di Pisot
Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1.618, in ordine crescente.
| Valore | Radice di... | |
|---|---|---|
| 1 | 1.3247179572447460260 | x3 − x − 1 |
| 2 | 1.3802775690976141157 | x4 − x3 − 1 |
| 3 | 1.4432687912703731076 | x5 − x4 − x3 + x2 − 1 |
| 4 | 1.4655712318767680267 | x3 − x2 − 1 |
| 5 | 1.5015948035390873664 | x6 − x5 − x4 + x2 − 1 |
| 6 | 1.5341577449142669154 | x5 − x3 − x2 − x − 1 |
| 7 | 1.5452156497327552432 | x7 − x6 − x5 + x2 − 1 |
| 8 | 1.5617520677202972947 | x6 − 2x5 + x4 − x2 + x − 1 |
| 9 | 1.5701473121960543629 | x5 − x4 − x2 − 1 |
| 10 | 1.5736789683935169887 | x8 − x7 − x6 + x2 − 1 |
| 11 | 1.5900053739013639252 | x7 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1 |
| 12 | 1.5911843056671025063 | x9 − x8 − x7 + x2 − 1 |
| 13 | 1.6013473337876367242 | x7 − x6 − x4 − x2 − 1 |
| 14 | 1.6017558616969832557 | x10 − x9 − x8 + x2 − 1 |
| 15 | 1.6079827279282011499 | x9 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1 |
| 16 | 1.6081283851873869594 | x11 − x10 − x9 + x2 − 1 |
| 17 | 1.6119303965641198198 | x9 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1 |
| 18 | 1.6119834212464921559 | x12 − x11 − x10 + x2 − 1 |
| 19 | 1.6143068232571485146 | x11 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1 |
| 20 | 1.6143264149391271041 | x13 − x12 − x11 + x2 − 1 |
| 21 | 1.6157492027552106107 | x11 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1 |
| 22 | 1.6157565175408433755 | x14 − x13 − x12 + x2 − 1 |
| 23 | 1.6166296843945727036 | x13 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1 |
| 24 | 1.6166324353879050082 | x15 − x14 − x13 + x2 − 1 |
| 25 | 1.6171692963550925635 | x13 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1 |
| 26 | 1.6171703361720168476 | x16 − x15 − x14 + x2 − 1 |
| 27 | 1.6175009054313240144 | x15 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1 |
| 28 | 1.6175012998129095573 | x17 − x16 − x15 + x2 − 1 |
| 29 | 1.6177050699575566445 | x15 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1 |
| 30 | 1.6177052198884550971 | x18 − x17 − x16 + x2 − 1 |
| 31 | 1.6178309287889738637 | x17 − x15 − x14 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1 |
| 32 | 1.6178309858778122988 | x19 − x18 − x17 + x2 − 1 |
| 33 | 1.6179085817671650120 | x17 − x16 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1 |
| 34 | 1.6179086035278053858 | x20 − x19 − x18 + x2 − 1 |
| 35 | 1.6179565199535642392 | x19 − x17 − x16 − x15 − x14 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1 |
| 36 | 1.6179565282539765702 | x21 − x20 − x19 + x2 − 1 |
| 37 | 1.6179861253852491516 | x19 − x18 − x16 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1 |
| 38 | 1.6179861285528618287 | x22 − x21 − x20 + x2 − 1 |
