Orbite di sistemi di equazioni differenziali
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Dato un sistema di equazioni differenziali del seguente tipo:
La curva descritta nel piano al variare di t da ogni soluzione x = x(t) e y = y(t) del sistema viene detta orbita o traiettoria del sistema.
Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.
Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico.
Il sistema descrive il moto di una particella (x,y) la cui velocità (x',y') è data in ogni punto da (f(x,y),g(x,y)). Le orbite del sistema sono le traiettorie descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.
[modifica] Il caso lineare
Studiamo l'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema: 
derivando la prima equazione e usando la seconda, si ha x'' = ax' + bcx + bdy; dalla prima equazione si ricava by = x' − ax e sostituendo si ottiene x'' = (a + d)x' + (bc − ad)x pertanto x(t) è soluzione dell'equazione lineare (per semplificare z=x) z'' − (a + d)z' + (ad − bc)z = 0. (*) Abbiamo così dimostrato che se x(t), y(t) è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni x(t) e y(t) risolvono l'equazione (*). L'equazione caratteristica di (*) è p(λ) = λ2 − (a + d)λ + (ad − bc) = 0 e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato 
, ossia 
.
Dunque le radici 
sono gli autovalori della matrice A. Quindi il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori.
Distinguiamo i vari casi:
- Nodo stabile: λ1 , λ2 < 0
- Nodo instabile: λ1 , λ2 > 0
- Sella (instabile): (λ1 >0 , λ2 < 0 ) v
(λ1 < 0 , λ2 > 0)
- Centro (stabile): λ1,λ2 = ± β i
- Fuoco stabile: λ1 , λ2 = α ± β i, α<0
- Fuoco instabile: λ1 , λ1 = α ± β i, α>0
Grafici:
