Prodotto diretto

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In algebra, il prodotto diretto di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.

La costruzione si estende facilmente in alcuni casi in cui il gruppo ha anche delle strutture aggiuntive: è possibile quindi effettuare il prodotto diretto di spazi vettoriali e anelli.

[modifica] Prodotto di due gruppi

[modifica] Definizione

Il prodotto diretto di due gruppi (G₁, *₁), (G₂, *₂) è il gruppo (G₁× G₂, *_×) che si ottiene munendo il prodotto cartesiano G₁×G₂ dell'operazione *_× definita da

(a₁, a₂)*_×(b₁, b₂) := (a₁*₁b₁, a₂*₂b₂).

Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottointendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile

(a₁, a₂)(b₁, b₂) := (a₁b₁, a₂b₂).

Data la definizione, occorre dimostrare la sua consistenza, cioè che il prodotto definito goda effettivamente delle proprietà gruppali.

L'associatività discende direttamente dall'analoga proprietà dei due gruppi G₁ e G₂.

L'elemento neutro è dato da (e₁, e₂) dove e₁ ed e₂ sono gli elementi unità di G₁ e G₂ rispettivamente. Infatti:

(e₁, e₂)(a₁, a₂) = (e₁a₁, e₂a₂) = (a₁, a₂)

L' elemento inverso di (a₁, a₂) è (a₁, a₂)^-1 := (a₁^-1, a₂^-1), infatti:

(a₁^-1, a₂^-1)(a₁, a₂) = (a₁^-1a₁, a₂^-1a₂) = (e₁, e₂).

[modifica] Proprietà

I due gruppi fattori G₁ e G₂ possono essere identificati canonicamente con due sottogruppi normali

$H_2 = \{(a_1, e_2)\ |\ a_1 \in G_1\}$

$H_1 = \{(e_1, a_2)\ |\ a_2 \in G_2\}$

rispettivamente. Infatti le due applicazioni

$f_1:G_1 \to H_1\ \ f_1(a_1) = (a_1, e_2)$

$f_2:G_2 \to H_2\ \ f_2(a_2) = (e_1, a_2)$

sono isomorfismi di gruppi.

Il prodotto di due gruppi finiti aventi n e m elementi è un gruppo con nm elementi.
Il prodotto di due gruppi abeliani è abeliano.
Il prodotto di due gruppi ciclici con p e q elementi è ciclico se e solo se p e q sono coprimi.

Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il prodotto semidiretto tra gruppi.

[modifica] Esempi

Il prodotto diretto di n copie dello stesso gruppo G viene indicato con Gⁿ. Ad esempio, otteniamo i gruppi Zⁿ e Rⁿ a partire dai gruppi Z e R rispettivamente dei numeri interi e reali.

[modifica] Strutture aggiuntive

[modifica] Anelli

Se A e B sono due anelli, il loro prodotto diretto A × B ha una naturale struttura di anello, ottenuta definendo sia la somma che il prodotto termine a termine come sopra.

[modifica] Spazi vettoriali

Il prodotto diretto V × W di due spazi vettoriali ha una naturale struttura di spazio vettoriale, ottenuta definendo somma e prodotto per scalare termine a termine. Quindi:

λ(v, w) = (λ v,λ w)

Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V sono in somma diretta, allora il sottospazio U + W che generano è isomorfo al loro prodotto diretto U × W.

L'esempio più importante di prodotto diretto di spazi vettoriali è Kⁿ, definito come il prodotto diretto di n copie del campo K.

[modifica] Campi?

Il prodotto diretto di due campi è certamente un anello, ma non è mai un campo (a meno che uno dei due campi non sia banale). Infatti l'elemento (a, 0) non ha mai un inverso se a è diverso da zero!