Teorema di Cauchy (analisi matematica)
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Il teorema di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange. Date due funzioni reali di variabile reale f e g, continue in un intervallo [a,b], derivabili in ]a,b[ con g'(x) diversa da zero per ogni punto dell'intervallo, il teorema afferma che esiste almeno un punto c interno all'intervallo ]a,b[ in cui
Considerando in particolare la funzione g(t) = t, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
[modifica] Dimostrazione del teorema
La funzione come
- h(t): = [f(b) − f(a)]g(t) − [g(b) − g(a)]f(t)
è continua nel intervallo [a,b] e derivabile in (a,b), e
- h(a) = f(b)g(a) − g(b)f(a) = h(b).
Quindi h soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto ![c \in ]a,b[](../../../math/0/e/f/0eff8d69467c10b57a87a34915f5b2bd.png)
in cui h'(c) = 0, cioè
- [f(b) − f(a)]g'(c) − [g(b) − g(a)]f'(c) = 0,
e questa equazione è equivalente a quella affermata nel teorema.
[modifica] Applicazioni
Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.
