층 (수학)

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

수학에서 층(層, sheaf)이라고 하는 것은, 위상 공간위에 줄 수 있는 여러가지 다양한 구조들 중 어떤 특정 조건들을 만족하는 것을 말한다.

간략하게 말하자면, 위상공간 X위에 정의된 층 F란, 위상공간 X의 모든 열린 부분 집합 U에 대해서 어떤 수학적 대상 F(U)를 대응시키는 대응관계로써, 이들 F(U)들의 모임이 적절한 호환조건을 만족해서 위상공간 X 전체로 잘 조화롭게 결합하는 것을 말한다. 위의 대응관계들 중, 조화로운 결합을 이루지는 못하는 것은 층이라고 부르지 않고 원시 층(presheaf)라고 부른다. 하나의 간단한 예로, 위상 공간 X의 열린 부분집합 U각각에, U위에서 정의된 실 계수 연속함수들의 집합을 F(U)라고 정의하면, 이 것은 층이 된다.

목차 1 개요 2 정의 2.1 원시 층(presheaf)의 정의 2.2 결합 공리(gluing axiom) 3 예 4 층 사이의 사상들 5 층의 한점 위에서의 줄기(stalk)와, 함수들의 싹(germ)들 6 층의 에탈 공간(espace étalé) 7 일반화 8 역사 9 다른 관련 용어 10 참고문헌

[편집] 개요

층이라는 개념은 위상 수학, 대수 기하학, 복소 기하학, 미분 기하학등에서 널리 쓰이는 개념으로, 기하학적 연구 대상위에서 부분적으로 정의된 대수학적인 데이터들을 대국적으로 연구할때에도 잃어버리지 않기 위해서 고안된 장치이다. 즉, 어떤 대상이 이곳 저곳에서 이렇게 저렇게 스스로의 모습을 바꾸더라도 그 대상을 전체적인 숲을 보듯이 연구하기 위해서 고안되었다. 따라서, 층은, 정의는 각각 지역에 따라 다르게 된 어떤 대상의 대국적이고 대역적인 모습을 볼수 있게 해준다. 이런 대상들로는, 위상 공간, 해석 함수, 미분 다양체, 대수 다양체 등 많은 것들이 있다.

전형적인 예를 하나 들어보자. 위상 공간 X를 생각하고, 각각의 열린 부분집합 U에 대해서 F(U)를 U에서 R로 가는 모든 연속 함수들의 집합 이라고 하자. 만약 V가 U의 열린 부분집합이라면, U위에서 정의된 모든 함수는 자연스럽게 V위에서도 정의가 된다. 따라서 이러한 정의역을 제한하는 방식으로 F(U) → F(V)라는 자연스러운 대응관계를 만들어 낼 수 있다. 한편, 이렇게 각각의 U위에서 정의된 것은 자연스럽게 풀로 붙이듯이 결합될 수도 있다. 자세히 설명을 해 보자. U _i 를 U의 열린 부분집합들의 모임으로써, 이것들의 합집합이 U가 되는 것이라고 하자. 각각의 i에 대해서 U _i 위에서 정의된 연속함수 f _i ∈ F(U _i)이 주어져 있다고 하자. 이때 함수 f _i와 f _j 는 U_i와 U_j의 교집합에서도 정의되어 있는데, 만약 이 두 함수가 이 교집합에서 같은 함수를 정의한다면, 우리는 이 두 함수를 이용해서 U _i와 U _j의 합집합위에서 정의된 새로운 확장 함수를 만들 수 있다. 이런식으로, 이러한 관계가 모든 i, j들에 대해서 성립한다면, 위의 함수들의 모임 f _i는 전체 공간 X위에서 정의된 유일한 연속함수 f를 정의하게 된다. 한편, 이 각각의 F(U)는 환(ring)을 이루므로, 이 층 F는 <X위에서 정의된 환들의 층>이 된다.

또 다른 예를 들어보자. 이번에는 X를 미분 다양체라고 하고, 층 F를 다음과 같의 정의하자. 각각의 열린 부분집합 U에 대해서 F(U)를, U에서 R로 가는 모든 미분가능한 함수들의 집합이라고 하자. 여기서도 아까에서와 V가 U의 부분집합이면 제한 대응관계 F(U) → F(V)를 만들수 있고, 위에서와 마찬가지로 풀로 붙이는 과정을 수행할수 있다. 이 F도 <X위에서 정의된 환들의 층>이 된다. 그런데, 각각의 F(U)는 또한 R-벡터 공간이기도 하므로, 이 F를 <X위에서 정의된 R-벡터공간들의 층>으로 볼수도 있다.

[편집] 정의

층의 정의는 두가지 단계로 이루어 진다. 첫번째 단계는, 원시 층(presheaf)의 개념을 정의하는 것이다. 원시 층은, 위상 공간의 개개의 열린 부분집합에 정보를 대응하는 것이다. 두번째 단계는, 이런 대응에 몇가지 공리들을 추가하는데, 소위 <결합 공리>(gluing axiom) 혹은 <층 공리>(sheaf axiom)라는 것으로 이것은 부분적으로 정의된 정보를 어떻게 붙이고 결합하여 대역적인 정보로 만드는가를 정해주는 공리이다.

[편집] 원시 층(presheaf)의 정의

X를 위상공간이라고 하고, C를 어떤 카테고리라고 하자. (주로, 층 이론에서는 이 카테고리는 집합의 카테고리, 가환군의 카테고리, 가환환의 카테고리 혹은 어떤 고정된 가환환 A위에서의 모듈의 카테고리등이 구체적인 예로 많이 등장한다.) 이때, 위상공간 X위에서 정의된 C의 객체(object)들의 원시 층 F라는 것은 다음의 데이터로 정의된다:

• X의 개개의 열린 부분 집합 U에 대해서 F(U)가 카테고리 C안에서 주어져 있다.
• 포함관계가 있는 두개의 열린 부분 집합 V ⊂ U에 대해서 소위 제한 모피즘(restriction morphism)이라고 불리는 대응 res_U,V : F(U) → F(V)가 카테고리 C의 모피즘으로 주어져 있고, 이들은 다음의 두가지 성질들을 만족해야 한다:
  • 각각의 열린 부분 집합 U에 대해서 res_{U, U}: F(U) → F(U)는 F(U)의 항등 대응(identity morphism)이어야 한다.
  • 만약 세 개의 열린 부분 집합들 W ⊂ V ⊂ U가 있다면, res_V,W ○ res_U,V = res_U,W 가 만족되어야 한다.

위의 정의를 순전히 카테고리 이론의 언어로 다시 다음과 같이 쓸 수도 있다. 우선, 위상 공간 X에 대해서, X의 열린 부분 집합들의 카테고리 T:=Top_X를 다음과 같이 만든다: 이 카테고리의 객체들은 X의 열린 부분집합들이고, 모피즘들은 포함관계이다. 즉, V ⊂ U 이라면, Hom _T (V, U) = { V ⊂ U}이라는 포함관계 단 하나로 구성된 모피즘들의 집합을 만든다. 그러면, 어떤 카테고리 C에 대해서 위에서 정의한 원시 층, 즉, C-원시 층은, Top_X 에서 C로의 역변환 펑터(contravariant functor)와 같은 것이다.

F가 X위에서 정의된 C-원시 층이고, U가 X의 열린 부분 집합일때에, 우리는 F(U)의 원소들을 F의 U위에서의 단면들이라고 부른다. 흔히 F(U)를 Γ(U, F)라고 쓰거나, 아니면 H⁰ (U, F)라고 쓰기도 한다.

[편집] 결합 공리(gluing axiom)

직관적으로 말하자면, 층이란, 우선 원시 층이면서, 여기에 더해 조그마한 작은 열린 집합들에서 정의된 단면들을 적절하게 붙여서 더 큰 열린 집합에서의 단면을 만드는 작업이 가능한 것을 말한다. 이때 이 풀로 붙이는 것을 가능하게 하는 것이 결합 공리이다. 좀더 명확하게는 다음과 같다:

U가 X의 임의의 열린 부분 집합이라고 하고, U의 열린 부분 집합들의 모임 {U_i}이 주어져 있다고 하자. 이때 각각의 열린 집합 U_i에서 하나씩 단면 f_i들이 호환성이 있다는 말은, res_Ui,Ui∩Uj(f_i) = res_Uj,Ui∩Uj(f_j) 가 성립하는 것을 뜻한다. 이때에, 결합 공리라는 것은, 이러한 호환성이 있는 단면들 {f_i"}이 다음 두가지 조건을 만족하는 것을 말한다:

• U위의 어떤 단면 f가 res_{U, Ui" (f) = f_i}
• 이런 조건을 만족하는 f는 유일하다.

[편집] 예

아주 많은 예들이 있다.

• 위상 공간 X위에서의 연속함수들의 층 (개요참조)
• 미분 다양체 M위에서의 미분가능한 함수들의 층 (개요참조)
• 미분 다양체 M위에서의 벡터 장들의 층
• E, X가 위상 공간들이라고 하고, π : E → X 가 연속 함수라고 하자. 이때에, 여기에 대응하는 중요한 층을 다음과 같이 만들 수 있다. F(U) 를 모든 연속함수들 f : U → E 중에서 π(f(x)) = x (x는 U의 점)를 만족하는 것들의 집합이라고 하자. 흔히 이런 함수 f를, π의 단면이라고 부른다. 이 F가 층을 이룬다는 것을 증명하는 것은 어렵지 않다. 사실은 X위의 임의의 층 F를 이런 식으로도 만들어 낼 수 있다. 이런 것을 층의 에탈 공간이라고 부른다. 아래에서 자세하게 다루겠다.

한편, 만약에 열린 부분집합 U가 전체공간 X인 경우, F(X)의 원소들을 대역 단면(global section)이라고 부른다. 이런 용어는 바로 위의 예제에서 나온 것이다.

• 선속 다발(fibre bundle)들은 층의 아주 좋은 예가 된다.

[편집] 층 사이의 사상들

X가 위상 공간이고, F, G가 카테고리 C에서 값을 가지는 층들이라고 하자. 이때에, G에서 F로의 층의 사상(morphism) φ이라고 함은, 모든 열린 부분집합 U에 대해서 카테고리 C안의 사상들 φ_U : G(U) → F(U)를 모아 놓은 것들 중, 제한 사상들 res와 호환성이 있는 것들을 말한다. 즉, 다시 말하자면 두개의 열린 부분집합 U ⊆ V들에 대해서 다음의 그림이 가환그림이 되는 것을 말한다:

위에서, 층 들은, 또한 T_X에서 C로 가는 역변환 펑터(contravariant functor)로 볼수도 있다고 했었다. 이 정의로 층들의 모피즘을 보면, 사실은 층들의 사상은 단지 펑터(functor)들의 자연변환(natural transformation)에 지나지 않는다. 그래서, 적절하고 충분히 작은 우주(universe)안에서만 생각을 할 경우, X위의 모든 C-층들은 그 자체가 다시 카테고리를 만든다. 층들의 동형 사상(isomorphism)은, 이 카테고리에서의 동형 사상을 말한다.

이 정의를 조금 더 일반화 하여, 서로 다른 두개의 위상 공간에서 정의되는 두개의 층들에 대해서도 사상을 정의할 수 있다. X, Y가 두개의 위상 공간이고, f : X → Y가 연속 함수라고 하자. F와 G를 각각 X와 Y에서 정의되는 C-층들이라고 하자. 그러면, f에 대한 G에서 F로의 사상 φ라고 함은, Y의 모든 열린 부분 집합 U에 대해서 카테고리 C안의 사상들 φ_U : G(U) → F(f⁻¹(U))을 모아 놓은 것들 중, 모든 Y의 열린 부분 집합 쌍 U ⊆ V 에 대해서 다음의 그림이 가환그림이 되는 것을 뜻한다:

만약 여기에서 Y를 X로 택하고 f를 자기 자신으로 보내는 항등함수로 택하면, 이전의 사상의 정의를 얻을 수 있다.

두개의 위상 공간에 대한 층들 사이의 사상을 카테고리 이론으로 기술하는 것은 아까 했던 것 보다는 조금 더 복잡하지만, 다음과 같이 하는 것이 가능하다. 우선, 논리철학적인 문제를 피하기 위해서, 우리는 크기가 충분히 작은 어떤 우주안에서만 작업을 하고 있다고 가정하자. Top을 이 우주 안에 있는 모든 위상 공간들의 카테고리라고 정의하고, Cat를 이 우주 안에 있는 모든 카테고리들의 카테고리라고 정의하자. 물론 Top에서의 사상은 연속함수들이고, Cat에서의 사상은 자연 변환들이다. 이때에, 카테고리 Top에서 카테고리 Cat으로의 역변환 펑터 Top을, 위상 공간 X를 이것의 모든 열린 부분집합들의 카테고리 Top _X으로 보내는 것으로 정의하자. 물론, 두 위상 공간 X, Y사이의 연속 함수 f: X → Y에 대해서 Top(f)는, Y의 개개의 열린 집합에 대해서 이것의 역상을 대응하는 것으로 정의된다. 그러면, F가 X위의 층, G가 Y위의 층 이라고 하면, 역변환 펑터 F를 역변환 펑터 Top(f)와 합성 함으로써 역변환 펑터 Top_Y → C를 얻게 된다. 그래서 f에 대한 G에서 F로의 사상이라는 것은, G에서 F ○ Top(f)로 가는 자연 변환을 뜻하는 것으로 정의한다.

물론 여기에서 정의한 사상들은 층들에 뿐만 아니라, 원시 층들에서도 똑같은 방식으로 정의할 수 있다.

[편집] 층의 한점 위에서의 줄기(stalk)와, 함수들의 싹(germ)들

X가 위상 공간이고, x는 X의 한 점이라고 하자. F는 X위에서 주어진 어떤 층이라고 하자. 이때에, 우리는 층 F가 점 x 주변에서는 어떻게 행동하는지 공부하려고 한다. 해석학적인 용어로 설명을 하자면, x로 계속 가까이 가까이 갈때에 F가 어떻게 행동하는지 알고 싶다는 것이다. 물론 일반적으로 층이론이 가장 널리 쓰이는 대수 기하학같은 학문에서는 이러한 개념은 아무 쓸모가 없다. 대수 기하학에서 쓰이는 위상은 너무나 엉성해서 저런식의 극한을 찾을수가 없기 때문이다. 그래서 대신에 쓰는 방법은 바로 귀납적 극한(direct limit)이라는 것이다. 즉, x주변의 모든 열린 부분 집합 N에 대해서 F(N)를 택한 후, 이들에 대해서 부분 순서(partial order)를 준 것에 대해서, 카테고리 이론적인 관점에서의 코리미트(colimit)를 택한다. 이러한 극한을 일반적으로 F_x처럼 쓰고, 이것을 F의 x에서의 줄기(stalk)라고 부른다. 만약 F가 C-층이라면, F_x가 존재한다는 가정하에서 이 F_x도 C의 객체가 되어야 한다. 이 극한이 항상 존재하는 것은 아니지만, 일반적으로 많이 쓰이는 경우인 C가 가환군의 카테고리이거나, 가환환의 카테고리 등인 경우에는 존재한다.

정의에 의해서, 점 x를 포함하는 임의의 열린 부분 집합 U에 대해서, 자연스러운 사상 F(U) → F_x가 존재한다. 이때에, U위의 F의 단면 f에 대해서, 이 사상을 적용하여서 얻어지는 F_x의 원소를 우리는 f의 x에서의 싹(germ)이라고 부른다.

이 싹의 개념은, 수학의 다른 분야에서 쓰이는 싹의 개념을 일반화 한 것이다. 직관적으로 말하자면, f의 x에서의 싹이라고 하는것은, 단면 f의 x에서의 지역적인 모든 행동에 대한 정보를 담고 있는 것이다. 즉, 이것은 일종의 f의 x에서의 영혼이라고 할 수 있다.

어떠한 층들에 대해서는 이런 싹들은 아주 잘 작동하고 좋은 정보를 준다. 예를들어서, 해석 함수의 어떤 점에서의 싹은, 그 점 주변에서의 그 함수의 행동을 완전하게 결정해 버린다. 이것은 복소 해석학의 거듭제곱 급수(power series)에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 그러나, 어떠한 경우에는 이러한 싹들은 아무런 유용한 정보를 주지 못하는 경우도 있다. 대표적인 이런 예로, 무한히 미분가능한 매끈한 함수에 대해서 어떤 점에서의 싹을 보는 경우, 이 주변에서의 함수의 행동에 대해서 이 싹이 아무런 정보도 주지 못하는 경우가 많다. 구체적으로 예를들자면, 어떤 매끈한 범프 함수(bump function)을 생각하면, 어떤 점 주변에서 이 함수가 완전히 상수 함수인 경우가 있다. 그러나, 이 범프 함수가 어떤 점 주변에서 상수 함수라는 정보가, 어디에서부터 범프가 시작되는 것에 대해서는 아무 것도 알려 줄 수가 없고, 심지어는 이 정보만 가지고는 이것이 애초에 상수 함수였는지 범프 함수였는지 조차도 구분하는것이 불가능하다.

[편집] 층의 에탈 공간(espace étalé)

층의 발달 초기에 이미, 사람들은 위상 공간 X위에 층 F를 정의하는 것은, 어떤 위상 공간 E와 어떤 연속 함수 E → X를 주는 것과 같은 것이라는 것을 증명할 수 있었다. 좀 더 정확하게 말하자면, 모든 층 F에 대해서, 다음의 성질들을 만족하는 위상 공간 E가 존재한다:

• 국소 위상동형사상(local homeomorphism) π: E → X 이 있고,
• F는 π의 단면들의 층과 동형이다.

물론, 어떻게 하면 이 단면들의 층을 얻어낼 수 있는지는 위에서 이미 설명했었다.

한편, F에 의해서, 위에서 말한 위상 공간 E의 위상 동형 집단(homeomorphism class)이 유일하게 결정된다. 이것은, F의 줄기(stalk)들의 공간으로써, 각각의 줄기들은 이산 위상(discrete topology)가 주어지며, 이런 각각의 줄기들의 이산 합집합(disjoint union)을 택하여 E를 얻을수 있다. 물론 연속함수 $pi;는 F_x를 점 x로 보내는 함수로 정의한다. 이 전체 공간 E의 위상은, F가 π의 단면들의 층이 되도록 유일하게 된다.

이 위상 공간 E를 이용해서, 카테고리 이론의 입장에서 말하자면, X위의 층들의 카테고리는 X로의 국소 위상동형사상이 있는 위상 공간들의 카테고리와 동등하다고 할 수 있다. 또 다른 말로 하자면, 주어진 층 F에 대해서 위상 공간 E를 두번째 카테고리에서의 표현가능한 펑터(representable functor)로 이해할 수도 있다. 어쨌거나, 이러한 펑터로 보는 관점은 이미 1950년대에 시작되었었다.

위에서 등장한 위상 공간 E를, 층 F의 에탈 공간(espace étalé)라고 부른다. 이 용어는 고드망(Godement)의 호몰로지 대수학에 대한 책과 층 이론에 대한 책 (Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux)에서 처음으로 사용되었었는데, 이 당시에는 층은 항상 이런 방식으로 정의되었었다. 즉, 위에서 정의한 원시 층에서 시작하는 층의 정의는 상대적으로 최근에 등장한 것이다.

[편집] 일반화

어떤 위상 공간 위에서 정의된 층이, 가환군들의 층인 경우, 층 코호몰로지(sheaf cohomology)를 정의하는 것이 가능하다. 물론 층에 모든 정보가 담겨 있겠지만, 이것을 바로 끄집어 내서 쓰기가 복잡하기 때문에, 이러한 코호몰로지 군들은 더 유용하고 구체적인 정보들을 알려주는 경우가 많다. 층에 대해서 층 코호몰로지를 정의하는데에 있어서 가장 중요한 것은, 층들의 완전열(exact sequence)에 대응하는 긴 코홀모로지 완전열을 생성해 내는 것이다.

대수 기하학에서의 경우에는, 이 문제는 처음으로 장피에르 세르에 의해서 시도 되었다. 그는 체크 코호몰로지(Cech cohomology)를 약간 변형하여 이 이론을 시도하였다. 이것은 어느 정도 잘 먹혀 들어갔었다. 그러나, 불행하게도 이 방법으로는 많은 좋은 결과들을 증명하지 못하였다. 그리고는 곧 알렉산더 그로텐디크가 도출 펑터(derived functor)의 개념을 도입하여 더 강력하고 일반적인 결과들을 증명하였다.

한편, 그로텐디크는 그에 더해서, 코호몰로지 이론을 더 발달 시키면, 베이유 가설(Weil conjecture)을 증명할수도 있을지 모른다는 동기를 받고, 어떤 공간 X에 대해서 층을 정의하는데 필요한 조건들을 세심하게 분석한 결과 그로텐디크 위상이라는 혁신적인 아이디어를 내 놓았다. 이것은 사실은 공간에 주어지는 것이 아니라, 그 공간에 연관된 카테고리에 정의할수 있게 되어있다. 어떤 카테고리가 그로센딕 위상을 가지고 있는 경우, 우리는 이것을 사이트(site)라고 부른다. 이 관점은 차후, 에탈 코호몰로지, fppf 위상, fpqc 위상, 니스네비치 위상(Nisnevich topology)등, 현대 대수기하학에서 가장 중요한 몇가지 연구 방법들을 내 놓는 밑거름이 되었다. 이 많은 결과들 중 대부분을 그로텐디크라는 천재 단 한명이 했다고는 믿을수 없을 정도로 이 연구방법은 기존의 대수기하학을 완전히 바꾸어 놓았다.

[편집] 역사

층 이론의 최초의 원조는 현재로써는 정확하게 무엇이었고 누구였는지 말하기 쉽지 않다. 아마도 해석적 접속(analytic continuation)의 개념의 발달과 더불어서 같이 발달되었을 것으로 생각된다. 아무튼, 코호몰로지이론의 기초로부터 독자적인 이론으로 발달되는 데에는 대략 15년 가량의 시간이 걸렸다.

다음의 목록은 대략적으로 층 이론의 개발에 영향을 준 주요한 수학적 업적들의 연보이다.

• 1936년 에두아르드 체크(Eduard Čech)가 열린 덮개의 신경(nerve)을 만들었다. 이것은 열린 덮개에 어떤 심플리셜 복합체(simplicial complex)를 대응시킨 것이다.
• 1938년 헤슬러 휘트니(Hassler Whitney)는, 제임스 W. 알렉산더(James W. Alexander)와 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)가 코체인의 개념을 정의한 것을 보고, 최초의 현대적인 코호몰로지의 정의를 내렸다.
• 1943년 노만 스틴로드(Norman Steenrod)가, 국소 계수를 가지는 호몰로지에 대한 이론을 출판하였다.
• 1945년 장 르레이(Jean Leray)가 차후에 층 이론과 스펙트럴 수열(spectral sequence) 이론으로 발달할 논문을 출판하였다. 이 당시 그는 2차 세계대전에서 체포된 전쟁 포로 상태였었다.
• 1947년 앙리 카르탕(Henri Cartan)이 앙드레 베이유(André Weil)에게 보낸 편지에서, 층 이론을 이용한 새로운 드람 정리의 증명 방법을 공개하였다. 한편, 장 르레이는, 열린 집합 대신에 닫힌 집합들을 이용한 층의 정의를 주었다. 이들은 차후 카라파스(carapaces)로 불리게 된다.
• 1948년 카르탕 세미나(The Cartan seminar) 에서 층 이론을 최초로 기록한다.
• 1950년 카르탕 세미나에서, 층 이론의 두번째 판이 나왔다. 여기에서 에탈 공간(éspace étalé)을 이용한 정의가 사용되었고, 줄기(stalk)들도 정의되었다. 받침(support)의 개념이 소개되었고, 받침에 대한 코호몰로지가 소개되었다. 한편, 연속함수들이 스펙트랄 수열을 준다는 것을 밝혔다. 한편, 오카 기요시(Kiyoshi Oka)가 복소 해석학에서의 이데알들의 층에 대한 아이디어를 처음으로 소개하였다.
• 1951년 오카 기요시의 수학적 결과를 바탕으로 하여, 소위 정리 A, B로 불리는 정리를, 카르탕 세미나에서 증명하였다.
• 1953년 해석적 코히어런트 층(coherent sheaf)의 코호몰로지의 유한성 정리가 카르탕과 장피에르 세르(Jean-Pierre Serre)에 의해서 증명되었다. 세르의 세르 쌍대 정리(Serre duality)도 증명이 되었다.
• 1954년 장-피에르 세르가 그의 논문 <대수적 코히어런트 층>(Faisceaux algébriques cohérents-1955년에 출판됨)에서 대수기하학에서 쓸수 있는 층 이론을 처음으로 소개하였다. 이 논문에서의 아이디어는 프리드리히 히르체브루흐(Friedrich Hirzebruch)에 의해서 사용되어 더욱 발달된 후 차후 1956년에 <대수기하학에서의 위상수학적 방법>이라는 제목으로 출판되기도 한다.
• 1955년 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grothendieck)이 캔사스 대학에서의 강의에서 아벨 카테고리(abelian category)와 원시 층의 개념을 정의한다. 그리고, 단사 분해(injective resolution)의 개념을 도입하여, 임의의 위상 공간위에서 층의 코호몰로지 군을 도출 펑터라는 개념으로 정의하게 된다.
• 1956년 오스카 자리스키(Oscar Zariski)가 대수적 층 이론에 대한 논문을 발표한다. 'Algebraic sheaf theory, Scientific report on the Second summer Institute : Several complex variables [1954, Boulder (Col.)], Part III., Bull. Amer. math. Soc., t. 62, 1956, p. 117-141.)
• 1957년 알렉산더 그로텐디크의 도호쿠 논문이 호몰로지 대수학의 기초를 새롭게 썼다. 그로텐디크는 그리고 그로텐디크 쌍대 정리(Grothendieck duality) 특이 대수 다양체에도 적용될수 있는 세르 쌍대 정리의 일반화)를 증명하였다.
• 1958년 고드망의 층 이론에 대한 책이 출판되었다. 한편, 이 시기쯤 사토 미키오(Mikio Sato)가 초함수(hyperfunction)이라는 개념을 제안했는데, 이것이 차후 층 이론에 바탕을 둔 것임이 밝혀졌다.

이 1950년대 말의 시점에서 층 이론은 이미 현대 수학의 주류 언어의 일부가 되었고, 더이상 대수적 위상수학에서 뿐만이 아니라 대부분의 수학 분야에서 쓰이게 되었다. 차후 많은 시간이 지난 후, 층들의 카테고리에 대한 논리는 사실상 직관적인 논리(intuitionistic logic)임이 밝혀졌다. (이 관찰은 흔히 크립게-조얄 의미론(Kripke-Joyal semantics)로 불린다. 이 관찰은, 결국 층 이론은 그 바탕을 멀리 라이프니츠의 시대까지 역사를 거슬러 올라갈 수 있다는 것을 뜻하기도 한다.

[편집] 다른 관련 용어

• Gerbe
• Stack (category theory)

[편집] 참고문헌

• Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Roger Godement
• The Theory of Sheaves (University of Chicago Press,1964) R. G. Swan (concise lecture notes)
• Sheaf Theory (London Math. Soc.Lecture Note Series 20, Cambridge University Press, 1975) B. R. Tennison (pedagogic treatment)
• Sheaf Theory, 2nd Edition (1997) Glen E. Bredon (oriented towards conventional topological applications)
• Sheaves in Geometry and Logic (Springer-Verlag, 1992) S. Mac Lane and I. Moerdijk (category theory and toposes emphasised)
• Topological methods in algebraic geometry (Springer-Verlag, Berlin, 1995) F. Hirzebruch (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
• Sheaves on Manifolds (1990) M. Kashiwara and P. Schapira (advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces)