칸토어 집합

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칸토어 집합(Cantor set)은 0과 1사이의 실수로 이루어진 놀라운 성질을 가진 집합이다. 칸토어 집합을 만드는 방법은 다음과 같다. 우선 구간 [0, 1]을 택하고, 그 중에 "가운데" 구간 (1/3, 2/3)을 뺀다. 그리고, 남아 있는 구간들의 합집합 [0, 1/3] U [2/3, 1] 에서 다시 각각의 "가운데" 구간을 뺀다. 이런 과정을 무한히 반복하고 남는 집합을 칸토어 집합이라 한다. 그림으론 다음과 같이 이 과정을 표현할 수 있다.

   0                         1/3                       2/3                         1
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   ===   ===         ===   ===                           ===   ===         ===   ===
   = =   = =         = =   = =                           = =   = =         = =   = =

여기서 재미있는 질문을 던질 수 있다. 과연 이 과정으로 남는 것은 무엇일까? 우선 빼내는 구간들의 길이를 다 더해보면, 다음과 같다.

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1$

(이 계산에 대한 자세한 설명은 등비수열을 참조).

이 계산을 보면, 빼낸 구간의 길이를 다 더해, 원래 구간의 길이가 나왔으니, 나중에 아무것도 남지 않았을 것 같다. 그러나, 과정을 다시 살펴보면, 반드시 무언가가 남아 있어야만 한다. 왜냐하면, 빼낸 "가운데" 구간은 열린구간(끝점을 포함하지 않는 구간)이기 때문이다. 따라서, (1/3, 2/3)을 빼고나면, 끝점인 1/3 과 2/3가 남게 된다. 조금만 생각해 보면, 이 두 끝점이 결코 나머지 과정에서 빼내어지지 않는다는 걸 알 수 있다. 결국 이로서 칸토어 집합이 결코 공집합이 아님을 알 수 있다. 여기까지 생각해 보면, 아마도 끝점들만 남게 되나보다란 결론을 내릴지도 모르겠다. 하지만, 그것은 옳지 않다. 끝점이 아니면서 남게 되는 수가 존재한다. 예를 들어, 1/4는 첫번째 과정으로 나눠진 세 부분 중에 첫번째 구간에 위치한다. 따라서, 첫번째 단계가 지나도 이 수는 남아 있게 된다. 다음 단계를 위해 첫 구간을 나누어 보면, 1/4는 셋 중에 마지막 구간에 위치한 걸 알 수 있다. 다음 단계에서 1/4는 첫 구간에 있고, 그 다음 단계에선 마지막 구간에 있고... 이런 식으로 1/4는 매 단계에서 나눈 구간의 첫 구간이나 마지막 구간에 있기 때문에, 끝까지 지워지지 않는다.

칸토어 집합

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목차

[편집] 칸토어 집합은 비가산 uncountable

[편집] 칸토어 집합은 프랙탈

[편집] 위상적, 해석학적 성질

[편집] 칸토어 집합의 변형

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