팔팅스의 정리

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팔팅스의 정리(Faltings' theorem)이란, 1983년 독일의 수학자 게르트 팔팅스가 모델 가설(Mordell conjecture)를 증명한 이후, 모델 가설 대신에 불리는 이름이다. 모델 가설이라는 것은, 디오판토스 방정식들에 대한 유리수해들에 관한 기본적인 가설들로써, 1920년대에 수학자 모델(Louis Joel Mordell)이 세운 가설들 중의 하나이다.

[편집] 배경 개요

다음과 같은 아주 일반적인 질문을 할수 있다: 유리수들의 체위에서 정의된 대수 곡선 C가 주어져 있다고 하자. 이 곡선 C가 매끈하다고 가정하자. 그러면, 이 대수 곡선 위에는 얼마나 많은 유리 점들이 존재할까?

답은, 이 대수 곡선의 종수(genus) g에 따라 다르다. 다른 많은 정수론에서의 결과들 처럼, 3가지의 경우가 있다: g = 0, g = 1, g>1.

g=0인 경우는 아주 오래동안 답이 잘 알려져 있었다. g=1인 경우, 수학자 모델이 결과를 증명했으며, 이 결과를 본 후, 모델 자신이 g>1인 경우에 대해서 가설을 남겼는데, 이것이 바로 유명한 모델 가설이다.

[편집] 가설

정확하게 위의 모델 가설을 서술하자면 다음과 같다:

C가 유리수 위에서 정의된 매끈한 대수 곡선으로 종수가 g라고 하자. 그러면, C위의 유리점의 갯수는 다음과 같이 결정된다:

g=0인 경우: 1) 유리점이 단 하나도 없거나, 2) 무한히 많다. C는 이차 단면으로 간주될 수 있다.
g=1인 경우: 1) 유리점이 단 하나도 없거나, 2) 아니면, C는 유한개의 유리점만을 가지는 타원 곡선이 된다. 이때, 이 유리점들의 집합은 아주 엄격한 조건(Mazur's torsion theorem)을 만족하는 가환군을 형성한다. 3) 이것도 아니면, C는 무한히 많은 유리점을 가지되, 유한히 생성된 가환군을 만든다. 이 정리는 모델-베이유 정리(Mordell-Weil theorem)으로 불린다.
g>1인 경우: 유리점은 유한개 밖에 없다. 이것이 모델 가설이었으나, 게르트 팔팅스에 의해 증명되어, 이제는 팔팅스 정리로 불린다.