Teiginių logika

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Teiginių logika yra matematinės logikos mokslo teorija, nagrinėjanti loginius teiginių ryšius. Tai viena paprastesnių iš visų logikos teorijų. Ji nenagrinėja teiginių vidinės struktūros, kaip kad predikatų logika ar silogistika. Teiginių logikos dėsningumai galioja ir daugumoje kitų logikos teorijų.

[taisyti] Teiginio sąvoka

Teiginiais teiginių logikoje vadinami visi sakiniai, kurie gali būti teisingi arba klaidingi. Pavyzdžiui, „Dabar Vilniuje lyja“, „Visi žmonės yra mirtingi“, „Jonas eina į mokyklą“ yra teiginiai. Būna tokių sakinių, kurie nėra teiginiai — pavyzdžiui, klausimai, skatinamieji sakiniai. Teiginio teisingumas ar klaidingumas vadinamas jo teisingumo reikšme. Paprasčiausia teiginių logika yra dvireikšmė: joje visi teiginiai laikomi arba teisingais, arba klaidingais (tuo ji skiriasi nuo daugiareikšmių logikų). Teiginiai teiginių logikoje žymimi lotyniškomis raidėmis p, q, r (kartais: A, B, C...).

[taisyti] Teiginių logikos operatoriai

Operatoriais teiginių logikoje vadinami tam tikri žodžiai, kuriais galima sujungti atskirus teiginius į kitus, ilgesnius teiginius. Operatoriai lemia loginius teiginių ryšius. Teiginių logikoje skiriami šeši operatoriai. Jie atitinka kai kuriuos lietuvių kalbos jungtukus. Operatoriai žymimi specialiais simboliais. Visuotinai priimtos simbolių sistemos čia nėra — egzistuoja keli žymėjimo būdai.

Operatoriaus pavadinimas	Žymėjimas	Operatorių atitinkantys lietuvių kalbos jungtukai
Neigimas	$\sim, \lnot, \overline{p}$	„netiesa, kad...“
Konjunkcija	$\And,\land, \cdot$	„... ir ...“
Disjunkcija	$\vee$	„... arba ...“
Griežtoji disjunkcija	$\oplus, \underline{\vee}, \dot\lor$	„... arba ...“
Implikacija	$\rightarrow, \supset, \Rightarrow$	„jei ..., tai ...“
Ekvivalencija (lygiavertiškumas)	$\leftrightarrow, \equiv, \sim, \Leftrightarrow$	„jei ir tik jei ..., tai...“

Teiginys, kuris sukonstruotas naudojant operatorius, vadinamas sudėtiniu. Teiginiai be operatorių vadinami paprastais. Teiginių logikoje sudėtinio teiginio teisingumo reikšmė visada vienareikšmiškai priklauso tik nuo dviejų dalykų: nuo to, kokios yra į jį įeinančių paprastų teiginių teisingumo reikšmės, ir nuo to, kokiais operatoriais jie sujungti. Ši taisyklė negalioja kai kuriose kitose logikose, pavyzdžiui, modalinėje logikoje.

[taisyti] Teisingumo lentelės

Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmės priklausomybė nuo į jį įeinančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių paprastai vaizduojama teisingumo lentelėmis (jos dar vadinamos matricomis). Neigimo operatoriaus teisingumo lentelė atrodo taip:

p	~p
1	0
0	1

Simboliai „1“ ir „0“ šioje lentelėje žymi teiginių teisingumo reikšmes „teisinga“ ir „klaidinga“ (kartais vietoje „1“ ir „0“ teisingumo lentelėse vartojama „T“ ir „K“). Lentelė rodo, kad neigimo operatorius bet kokio teiginio p teisingumo reikšmę pakeičia į priešingą: jei p teisingas, tai ˜p — klaidingas; o jei p klaidingas, tai ˜p — teisingas. Tai atitinka „netiesa, kad...“ vartoseną lietuvių kalboje. Pavyzdžiui, jei teiginys „Dabar Vilniuje lyja“ — teisingas, tai teiginys „Netiesa, kad dabar Vilniuje lyja“ — klaidingas. Jei „Dabar Vilniuje lyja“ — klaidingas, tai teiginys „Netiesa, kad dabar Vilniuje lyja“ — teisingas.

Kitų operatorių teisingumo lentelės:

p	q	p&q	p $\vee$ q	p $\underline{\vee}$ q	p $\rightarrow$ q	p $\leftrightarrow$ q
1	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1	0
0	0	0	0	0	1	1

[taisyti] Teiginių logikos dėsniai

Dėsniais (arba tautologijomis, loginėmis tiesomis, logiškai būtinomis išraiškomis, tapačiai teisingomis išraiškomis) teiginių logikoje vadinamos visada teisingos išraiškos. Tai, ar tam tikra išraiška yra dėsnis, priklauso tik nuo jos loginės formos. Pavyzdžiui: p $\vee$ ~p (negalimo trečiojo dėsnis). Šią formą turintis teiginys bus teisingas nepriklausomai nuo to, kokį teiginį įstatysime vietoje p.

Kiti teiginių logikos dėsniai:

absorbcijos dėsnis
asociacijos dėsnis
distribucijos dėsnis
De Morgan'o taisyklės
disjunktyvus silogizmas
dvigubo neigimo dėsnis
eksportacijos dėsnis
hipotetinis silogizmas
konstruktyvioji dilema
konjunkcijos dėsnis
komutacijos dėsnis
materialiosios implikacijos dėsnis
materialiosios ekvivalencijos dėsnis
Modus Ponens
Modus Tollens
simplifikacijos dėsnis
sudėties dėsnis
transpozicijos dėsnis
tautologijos dėsnis

Logikos dėsnių neigimai vadinami kontradikcijomis (arba prieštaravimais, tapačiai klaidingomis išraiškomis). Tai visada klaidingos išraiškos. Pavyzdžiui: p&~p.

[taisyti] Samprotavimų pagrįstumo vertinimas

Teiginių logika padeda nustatyti, kurie samprotavimai yra pagrįsti ir kurie ne. Pagrįstuose samprotavimuose išvados gaunamos iš prielaidų remiantis teiginių logikos dėsniais. Norint nustatyti, ar samprotavimas pagrįstas, reikia padaryti du dalykus: samprotavimą formalizuoti (išversti į teiginių logikos kalbą); ir įvertinti, ar gauta forma yra pagrįsto samprotavimo loginė forma. Antrąjį iš šių dviejų žingsnių galima padaryti keliais metodais: