من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

فهرس 1 عناصر المنطق 2 مدخل عام 3 جملة 4 عبارة 5 النفي 6 العطف 7 الفصل 8 الاستلزام 9 التكافؤ 9.1 القوانين المنطقية 9.2 الدوال العبارة. استعمال الكموميات 10 دوال العبارة 11 الكموميات 12 الكموميات و الروابط المنطقية 12.1 تطبيق على نظرية المجموعات 12.2 الاستلزام و التضمن 12.3 مجموعة الأجزاء 13 مجموعة الأجزاء 14 التساوي و التكافؤ 15 المتمم و النفي 16 التقاطع و العطف 17 الاتحاد و الفصل 18 خاصيات عطف التقاطع و الاتحاد في مجموعة الأجزاء 19 الفرق 20 الفرق المتماثل 20.1 تطبيق في البرهنة الرياضية 20.2 المنطق الرياضي والدوائر الكهربية 20.3 المنطق الرياضي والبرمجة

[تحرير] عناصر المنطق

[تحرير] مدخل عام

[تحرير] جملة

الجملة في مجموعة حروف و رموز لها معنى, مثال:

• 2+3=5
• 5*9=48

من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة ب x . كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.

[تحرير] عبارة

تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى و يكون إما صحيحاو إما خاطئا أما الدالة العبرية ( خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى و يحتوي على متغير و يصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة

جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة] يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كليهما القضية المنطقية { تعريف} هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كليهما من أمثلة الجمل التي تكون قضايا 1) 2+3=7 2) صنعاء عاصمة اليمن 3) مجموع زوايا المثلث 250 ْ ملاحظة : ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الإسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب ... بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ مثل : 1) ما أجمل السماء ! 2) كم الساعة ؟

[تحرير] النفي

نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, و خاطئة إذا كانت P صحيحة. و نرمز لنفي P ب .

جدول الحقيقة

P
0	1
1	0

[تحرير] العطف

عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب

جدول الحقيقة

P	Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

[تحرير] الفصل

فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة. ونرمز له ب

جدول الحقيقة

P	Q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

[تحرير] الاستلزام

تكون العبارة P تستلزم Q ، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.

و نرمز لها ب: و هي تكافئ العبارة: .

جدول الحقيقة

P	Q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

[تحرير] التكافؤ

تكافؤ العبارتين و هو , و نرمز له ب:

جدول الحقيقة

P	Q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

[تحرير] القوانين المنطقية

القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية و تكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.

أمثلة:

1. 
2. 
3. 
4. 

المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين مرجان morgan.

[تحرير] الدوال العبارة. استعمال الكموميات

[تحرير] دوال العبارة

الدالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح و خطأ.

مثال:

بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من إلى بحيث:

[تحرير] الكموميات

هناك نوعان وجودية و كونية.

1. الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من بحيث:

نرمز للوجودية بالرمز .

1. الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل كيما كانت قيمة x من لدينا

نرمز للكونية بالرمز .

[تحرير] الكموميات و الروابط المنطقية

عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:

مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.

[تحرير] تطبيق على نظرية المجموعات

هناك علاقة بين نظرية المجموعات و المنطق.

[تحرير] الاستلزام و التضمن

نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.

و نكتب:

نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E.

[تحرير] مجموعة الأجزاء

[تحرير] مجموعة الأجزاء

كل مجموعة لها عدة أجزاء, و هذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.

[تحرير] التساوي و التكافؤ

المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

[تحرير] المتمم و النفي

متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.

علق حاتم على هذه فقال :

المتممة أمر نسبي

قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى " المجموعة الشاملة "

مثال

إذا كانت

المجموعة الشاملة = ش

ش = { 1 ،9 ، 5 ، 3 ، 2 }

أ = { 1 ، 9 }

متمم أ هو ب

ب = { 5 ، 3 ، 7 }

لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ

المقال كله يحتاج إلى كتابة أدق وأوضح مع استبعاد الرموز 1 ، صفر ووضع ص خ بدلا منها

ص = صحيحة

خ = خاطئة

حاتم الفرائضي 10:54، 4 نوفمبر 2007 (UTC)

x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.

[تحرير] التقاطع و العطف

تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: .

x من C يكافئ: x من A و x من B.

[تحرير] الاتحاد و الفصل

اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, و التي نرمز لها ب: .

x من C يكافئ: x من A أو x من B.

[تحرير] خاصيات عطف التقاطع و الاتحاد في مجموعة الأجزاء

[تحرير] الفرق

[تحرير] الفرق المتماثل

[تحرير] تطبيق في البرهنة الرياضية

A^(B+c)=(A^B)+(A^C)>>> برهن

[تحرير] المنطق الرياضي والدوائر الكهربية

بمكن تحويل كل جمل المنطق الرياضي إلى دوائر كهربية تستخدم في الحاسب الآلي لإجراء العمليات الحسابية والمنطقية ويمكن الاطلاع على تفاصيل ذلك هنا لمزيد من المعلومات

[تحرير] المنطق الرياضي والبرمجة

يفيد فهم المنطق الرياضي في إجراء عمليات البرمجة المعقدة والتي تحوي الجمل الشرطية المتداخلة اللازمة لتحقيق هدف معين أو حل مشكلة محددة بواسطة البرنامج.