Behangpatroongroep

Van Wikipedia

Een behangpatroongroep is een 2-dimensionale ruimtegroep. Door herhaling in twee richtingen van eenheden in een vlak kunnen patronen gevormd worden.

een Islamitisch patroon, volgens groep "p4"

Er zijn precies 17 verschillende behangpatroongroepen. Alle 17 vormen komen reeds voor in de islamitische ornamenten in het Alhambra in Spanje.

Verwant zijn de strookpatroongroepen voor herhaling in één richting (hiervan zijn er zeven), en de rozetpatroongroepen voor patronen zonder translatiesymmetrie: cyclische groepen en dihedrale groepen.

[bewerk] Symmetrie

De 17 vormen hebben symmetrie zijn opgebouwd uit combinaties van

translatie (verschuiving)
rotatie over hoeken van 60°, 90°, 120° of 180°
spiegelingen en/of
glijspiegelingen

In de afbeeldingen hieronder wordt gebruik gemaakt van de volgende tekens:

een ruit geeft het centrum aan van een rotatie over 180° (= 360°/2 )
een driehoek geeft het centrum aan van een rotatie over 120°(= 360°/3 )
een vierkant geeft het centrum aan van een rotatie over 90° (= 360°/4 )
een zeshoek geeft het centrum aan van een rotatie over 60°(= 360°/6 )
een dikke lijn geeft de spiegelas aan
een stippellijn geeft een glijspegeling aan, dit is een combinatie van een spiegelas met een translatie
het gele vlak is het kleinste deel van het patroon

[bewerk] Parallellogrammen
1. Groep p1 (ook O1) Deze groep heeft translatie als enige vorm van symmetrie.	2. Groep p2 (ook 2222) Deze groep heeft naast translatie vier rotaties van 180°.
[bewerk] Rechthoeken
3. Groep pm (ook **) Deze groep heeft 2 parallelle spiegelasssen	4. Groep pg (ook XX)
5. Groep pmm (ook *222)	6. Groep pmg (ook 22*)
7. Groep pgg (ook *222)
[bewerk] Ruiten
8. Groep cm (ook X)	9. Groep cmm (ook 2*22)
[bewerk] Vierkanten
10. Groep p4 (ook 442)	11. Groep p4mm (ook *442 of p4m)
12. Groep p4gm (ook 4*2 of p4g)
[bewerk] Ruiten of zeshoeken
13. Groep p3 (ook 333)	14. Groep p3m1 (ook *333)
15. Groep p31m (ook 3*3)	16. Groep p6 (ook 632)
17. Groep p6mm (ook *632 of p6m)