Bolcoördinaten

Van Wikipedia

Een coördinaat (x,y,z) kan ook aangeduid worden met behulp van twee hoeken φ en θ en een straal ρ.

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, gelijkend op het tweedimenionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt de afstand ρ van het driedimensionale punt P tot de oorsprong als eerste coordinaat gebruikt. Als tweede coördinaat gebruikt men de hoek $θ$ zoals in het xy-vlak. De derde coördinaat is de hoek $φ$ die de lijn OP met de z-as maakt, positief gerekend in positieve z-richting en negatief in negatieve z-richting, dus met een waarde in het bereik -π/2 ... π/2.

Het verband tussen de Cartesische coördinaten (x,y,z) en de bolcoördinaten (r, $θ$ , $φ$ ) wordt gegeven door:

$x=\rho\ \sin(\phi) \cos(\theta) \!$

$y=\rho\ \sin(\phi) \sin(\theta) \!$

$z=\rho\ \cos(\phi) \!$

Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor $\phi=\plusmn \pi /2$ doet de hoek $θ$ niet meer ter zake.

[bewerk] Jacobiaan

De Jacobiaan van deze transformatie is:

$J= \frac{\partial (\rho,\phi,\theta)}{\partial (x,y,z)} = \begin{vmatrix} \frac x\rho & \frac y\rho & \frac z\rho \\ \frac{-y}{\rho^2} & \frac{x}{\rho^2} & 0 \\ \frac{xz}{\rho^2 r} & \frac{yz}{\rho^2 r} & \frac{-r}{\rho^2} \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} \sin(\phi)\cos(\theta) & \sin(\phi)\sin(\theta) & \cos(\phi) \\ -\frac 1r \sin(\theta) & \frac 1r \cos(\theta) & 0 \\ -\frac 1\rho \cos(\phi)\cos(\theta) & \frac 1\rho \cos(\phi)\sin(\theta) & \frac 1\rho \sin(\phi) \end{bmatrix}$

Omgekeerd

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta,\phi)} = \begin{bmatrix} \sin(\phi)\cos(\theta)& -\rho \sin(\phi)\sin(\theta) & \rho \cos(\phi)\cos(\theta) \\ \sin(\phi)\sin(\theta) & \rho \sin(\phi)\cos(\theta) & \rho \cos(\phi)\sin(\theta) \\ \cos(\phi) & 0 & -\rho \sin(\phi) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac x\rho & -y & \frac {zx}r \\ \frac y\rho & x & \frac {zy}r \\ \frac z\rho & 0 & -\rho \end{bmatrix}$

[bewerk] Coördinatentransformatie

Een functie f van de drie veranderlijken x, y en z krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

$f_B(\rho,\phi,\theta) = f(\rho\ \sin(\phi) \cos(\theta),\rho\ \sin(\phi) \sin(\theta),\rho\ \cos(\phi)).\,$

Een vectorveld F, met in het punt (x,y,z) de componenten

$F_x(x,y,z),F_y(x,y,z)\,$ en $F_z(x,y,z)\,$ ,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal ρ en loodrecht daarop in een component in de "richting" van φ en in de "richting" van θ, de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door ρ in het vlak door ρ en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door ρ en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

$F_\rho =\ \ F_x\sin(\phi)\cos(\theta)+F_y\sin(\phi)\sin(\theta)+F_z\cos(\phi) \!$