Toegevoegde operator

Van Wikipedia

De functionaalanalyse associeert met iedere continue lineaire operator tussen twee genormeerde ruimten een toegevoegde operator.

Inhoud

1 Definitie
2 Getransponeerde matrix
3 Hilbertruimten
- 3.1 Zelftoegevoegde continue operator
4 Onbegrensde operatoren in een Hilbertruimte
- 4.1 Symmetrische onbegrensde operator
- 4.2 Zelftoegevoegde onbegrensde operator

[bewerk] Definitie

Zijn X en Y genormeerde ruimten, en $T:X\to Y$ een continue lineaire transformatie.

Noteer X^* voor de duale topologische vectorruimte van X met de zwak-*-topologie. De elementen van X^* zijn de continue lineaire afbeeldingen van X naar zijn scalairenlichaam $\mathbb{K}$ (de reële of de complexe getallen). Zij Y^* de duale van Y.

De toegevoegde operator T^* wordt gedefinieerd via de rechtse samenstelling met de transformatie T:

$T^*:Y^*\to X^*:y^*\mapsto y^*\circ T$

Met andere woorden, voor een gegeven continue lineaire afbeelding

$y^*:Y\to\mathbb{K}$

is de afbeelding T^*y^* gedefinieerd door het functievoorschrift

$T^*y^*:X\to\mathbb{K}:x\mapsto y^*(T(x))$ .

Men kan inderdaad aantonen dat dit voorschrift van T^*y^* een continue lineaire functionaal op X maakt.

[bewerk] Getransponeerde matrix

Als X en Y eindigdimensionaal zijn, en voor beiden wordt een vaste basis gekozen, dan zijn alle lineaire transformaties continu, en worden ze uniek bepaald door een $m\times n$ -matrix (m en n zijn de dimensies van X resp. Y).

De duale ruimten beschikken dan elk over een canonieke duale basis. Ten opzichte van deze duale basissen heeft T^* als matrix, de getransponeerde van de matrix van T.

[bewerk] Hilbertruimten

Als X en Y (pre-)Hilbertruimten zijn, dan zijn ze beiden uitgerust met een inwendig product. Het inwendig product zorgt voor een natuurlijke identificatie van de ruimte met haar duale:

$x^*(w)\equiv\langle x,w\rangle$

In complexe Hilbertruimten ( $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ) geldt de bijkomende complicatie dat het inproduct niet symmetrisch, maar Hermitisch is. In de matrixnotatie heeft dit als gevolg dat de toegevoegde operator niet de getransponeerde matrix heeft, maar de complex geconjugeerde van de getransponeerde matrix.

Men spreekt in dit verband van de toegevoegde matrix. Opgelet: in Wikipedia NL betekent de term geadjugeerde matrix iets anders.

[bewerk] Zelftoegevoegde continue operator

Als T een continue lineaire transformatie is van een Hilbertruimte (X=Y), dan kunnen T en T^* met elkaar vergeleken worden. In het eindigdimensionale geval komt dit overeen met vierkante matrices.

Men noemt T zelftoegevoegd als T^*=T.

[bewerk] Onbegrensde operatoren in een Hilbertruimte

De kwantummechanica maakt vaak gebruik van lineaire transformaties van een deelverzameling van de Hilbertruimte die niet kunnen worden uitgebreid tot continue lineaire transformaties van de gehele Hilbertruimte. Een klassiek voorbeeld is de Laplace-operator $Δ$ in $L^2(\mathbb{R}^n)$ .

Als $T:D\subset H\to H$ een (niet noodzakelijk continue) lineaire afbeelding is van een deelvectorruimte D van de Hilbertruimte naar diezelfde Hilbertruimte, en het domein D van T is topologisch dicht in H, dan kan men nog steeds de toegevoegde operator T^* definiëren met het voorschrift