Vermoeden van Poincaré
Van Wikipedia
In 1904 stelde Henri Poincaré dat er een eenvoudig criterium moet zijn om te zien of een driedimensionale gekromde ruimte de vorm van een driedimensionale sfeer heeft. De driedimensionale sfeer of 3-sfeer is de veralgemening van de gewone tweedimensionale sfeer naar één dimensie hoger, of nog: de rand van een vierdimensionale bol.
Het vermoeden is een van de Millenniumprijsproblemen waarvoor een prijs van 1 miljoen dollar is uitgeloofd. In 2002 en 2003 zijn er bewijzen opgesteld door Grigori Perelman, die daarna wereldwijd door wiskundigen werden bestudeerd en aangevuld. Anno 2006 komt Perelman in aanmerking voor (een deel van) de milleniumprijs. Hij is echter al sinds 2003 onvindbaar. Hij zou normaal samen met 3 andere wiskundigen de Fields-medaille ontvangen op 22 augustus 2006, maar kwam niet naar de uitreiking.
De oorspronkelijke verwoording van het probleem:
- Zij V een compacte driedimensionale (topologische) variëteit (zonder rand). Kan de fundamentaalgroep van V triviaal zijn zonder dat V homeomorf is met S3, de driedimensionale sfeer?
In het algemeen is homotopie-equivalentie zwakker dan homeomorfisme, zelfs binnen de beperkte klasse der compacte driedimensionale variëteiten; getuige hiervan de lensruimten van Tietze.
