Wortel (wiskunde)

Van Wikipedia

Inhoud

1 Wortel van een getal
2 Wortel van een vergelijking
- 2.1 Verband tussen wortels en nulpunten
3 Externe links

[bewerk] Wortel van een getal

Een wortel van een getal is een getal dat een of meer keren met zichzelf vermenigvuldigd het eerste getal oplevert. Het symbool hiervoor is √. Het proces om een wortel te berekenen heet worteltrekken. Worteltrekken is een rekenkundige bewerking van de derde orde. Het aantal keren dat men het getal met zichzelf moet vermenigvuldigen, vermeerderd met 1, heet de macht van de wortel. De n^e-machtswortel uit het getal a wordt genoteerd als: $\sqrt[n]{a}$ . Een probleem hierbij is dat zowel 5 × 5 = 25 als (-5) × (-5) = 25. Zowel 5 als -5 kan daarom opgevat worden als wortel uit 25. Om deze dubbelzinnigheid te vermijden is afgesproken dat alleen 5 als wortel uit 25 beschouwd wordt.

Dit probleem doet zich alleen voor bij evenmachtswortels. Met een evenmachtswortel bedoelen we een n-de machtswortel met n een even natuurlijk getal (en verschillend van nul). Onevenmachtswortel wordt analoog gedefinieerd. Afgesproken is dat de evenmachtswortel van een positief getal altijd positief is; zo is $\sqrt{25}=5$ en niet (ook) -5. De onevenmachtswortel van een getal heeft steeds hetzelfde teken als het getal zelf: $\sqrt[3]{125} = 5$ en $\sqrt[3]{-125}=-5$ . De evenmachtswortel uit een negatief getal bestaat niet, althans niet als reëel getal.

Samenvattend: Onevenmachtswortels mogen worden getrokken uit zowel positieve als negatieve getallen. De evenmachtswortel van a is binnen de reële getallen echter uitsluitend gedefinieerd voor $a \ge 0$ . De evenmachtswortel uit een negatief getal bestaat wel binnen de complexe getallen.

[bewerk] Voorbeeld

De 2^e-machts- of vierkantswortel van 25 is 5, want 5 > 0 en 5 × 5 = 25, dit wordt genoteerd als $\sqrt{25}=5$ . De 4^e-machtswortel van 16 is 2, want 2 > 0 en 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Dit wordt genoteerd als $\sqrt[4]{16}=2$ .

[bewerk] Alternatieve notatie

Omdat worteltrekken kan worden opgevat als een speciaal geval van machtsverheffen, is voor wortels de volgende alternatieve notatie mogelijk:

$\sqrt{a}=a^\frac 12$ ,

en algemener:

$\sqrt[n]{a}=a^\frac 1n$ .

[bewerk] Eigenschap

Voor alle n-de machtswortels geldt:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$

Immers:

$\left(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\right)^n = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n \left(\sqrt[n]{b}\right)^n = ab$

Dit geldt slechts voor a > 0 en b > 0, anders zou gelden:

$\sqrt{-1}*\sqrt{-1} = i * i = -1$ ,

terwijl

$\sqrt{-1*-1} = \sqrt {1} = 1$

In het algemeen geldt voor complexe getallen a en b:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = e^{\frac 12 Log(a)}e^{\frac 12 Log(b)}=e^{\frac 12(Log(a)+Log(b))}$ .

Anderzijds is:

$\sqrt{ab}=e^{\frac 12 Log(ab)}$ .

Hierin stelt Log de hoofdwaarde van de logaritme voor. Omdat niet noodzakelijk geldt dat Log(a) + Log(b) = Log(ab), is de genoemde eigenschap niet geldig voor willekeurige complexe getallen.

[bewerk] Complexe wortels

Met behulp van de opvatting van worteltrekken als machtsverheffen kunnen ook wortels uit complexe getallen gedefinieerd worden.

Algemeen geldt voor twee complexe getallen z en w:

$\,z^w = e^{w\log(z)}$

Daarmee laat zich de n^e-machtswortel van z definiëren door:

$\,\sqrt[n]{z} = e^{\frac 1n \log(z)}$ .

De wortel is op deze wijze niet ondubbelzinnig bepaald. Er zijn in het algemeen n n^e-machtswortels van de vorm:

$e^{\frac{log(a)+ 2 \pi i k}{n}}$ voor k=1, ...,n.

Neemt men echter de hoofdwaarde van de logaritme, dan is de wortel wel ondubbelzinnig bepaald.

Op analoge wijze kunnen ook wortels uit een quaternion q gedefinieerd worden. De verzameling van de n^e-machtswortels van q is:

$\{e^{\frac{ln(q)+ 2 \pi l k}{n}} \}$ .

waarbij k een willekeurig geheel getal voorstelt en l een willekeurige wortel van -1 is, zodanig dat $l 2 = - 1$ . Er hoeft dus niet langer te gelden dat $l = i = \sqrt{-1}$ . Meer bepaald geldt nu: $l = \frac{a - Re(a)}{|a - Re(a)|}$ .