Matematisk induksjon
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Matematisk induksjon er en metode til å bevise at spesielle matematiske utsagn gjelder generelt for alle tall. Disse såkallte induksjons-bevisene er logisk bygget opp fra et enkelt regnestykke til også å gjelde for kompliserte problemer. Metoden er deduktiv, det vil si at resultatet er eksakt viten som er reproduserbar for alle tilsvarende problemstillinger. Metoden er mye brukt innen ingeniørfag og naturvitenskapene.
[rediger] Eksempel
- Skal bevise at summen for alle naturlige tall kan skrives som:
, der n er et naturlig tall.
Første skritt er å bevise at uttrykket gjelder for 1.
da n=1. Dermed har vi vist at uttrykket gjelder for n=1.
Neste skritt er å bevise at hvis uttrykket gjelder for n=k, medfører det at uttrykket også gjelder for n = k + 1.
- Antar:
Legger til k + 1 på begge sider og får:
Regner ut høyresiden:
Dermed har vi:
og beviset er ferdig. Vi har nå bevist at uttrykket gjelder for n=1, og at hvis uttryukket gjelder for k, medfører det at uttrykket også gjelder for k+1. Induksjonsprinsippet sier dermed at uttrykket gjelder for alle naturlige tall 
.
