Analiza wymiarowa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy dotyczy działu matematyki. Zobacz też: analiza wymiarowa konstrukcji.

Analiza wymiarowa jest narzędziem powszechnie stosowanym w fizyce, chemii oraz inżynierii (głównie mechanicznej oraz chemicznej), opartym na teorii podobieństwa, stosowanym do wyznaczania warunków podobieństwa dynamicznego poprzez analizę wielkości fizycznych charakteryzujących dane zjawisko.

[edytuj] Przykład

Każdą zależność funkcyjną (nieznaną) można zapisać jako funkcję kilku parametrów fizycznych (niezależnych, np. temperatura, czas itp.), z których każdy posiada swój wymiar (w układzie SI będzie to np. metr lub sekunda). Najprostszy taki przypadek (spadek ciśnienia w przewodzie) można wyrazić jako funkcję długości przewodu ( $l$ ), średnicy przewodu ( $d$ ), prędkości płynu ( $u$ ), lepkości dynamicznej płynu ( $μ$ ) oraz gęstości płynu ( $ρ$ ):

$\Delta p=\it f \rm \left(d, l, u, \mu, \rho \right)$

Założone parametry mają następujące jednostki:

$d=\left[\rm{m} \right]$ , $l=\left[\rm{m} \right]$ , $u=\left[\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \right]$ , $\mu=\left[\frac{\rm{kg}}{\rm{m}\cdot \rm{s}} \right]$ , $\rho=\left[\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3} \right]$

Każdą taką funkcję można wyrazić w postaci potęgowej:

$\Delta p=C \cdot d^A \cdot l^B \cdot u^D \cdot \mu^E \cdot \rho^F$

Gdzie litery od

A

F

oznaczają stałe.

Zgodnie z zasadą zgodności wymiarowej, wartość po lewej stronie równania musi równać się wartości po prawej stronie równania. Przyjmując, że ciśnienie wyraża się w $\left[\frac{\rm{kg}}{\rm{m} \cdot \rm{s}^2} \right]$ równanie przyjmuje postać:

$\rm{kg}^{1} \cdot \rm{m}^{-1} \cdot \rm{s}^{-2} = C \cdot \rm{m}^{A} \cdot \rm{m}^{B} \cdot \rm{m}^{D} \cdot \rm{s}^{-D} \cdot \rm{kg}^{F} \cdot \rm{m}^{-3F} \cdot \rm{kg}^{E} \cdot \rm{m}^{-E} \cdot \rm{s}^{-E}$

Z porównania wykładników potęgowych wymiarów po lewej oraz po prawej stronie równania powstaje układ trzech równań:

dla $\begin{array}{l}\rm{[m]}\\\rm{[kg]}\\\rm{[s]}\end{array}\left\{\begin{array}{l}-1=A + B + D - 3F - E\\ 1=E + F \\ -2= - D - E\end{array}\right.$

Jest to układ trzech równań z pięcioma niewiadomymi. Można go rozwiązać przyjmując dwie z pięciu wartości za znane (np. $B$ oraz $F$ ).

$\left[E \right] =\left[ 1 - F \right]$

$\left[D \right]=\left[ 2 - E \right]$

$\left[B \right]=\left[ 3E + F - 1 - C - D \right]$

$\left[B \right]=\left[ 3 - 3F + F - 1 - C - 2 + F \right]$

$\left[B \right]=\left[ -2F + F - C = -E -C \right]$

Ostateczna postać wzoru:

$\Delta p = C \cdot d^{-F-B} \cdot l^B \cdot u^{2-F} \cdot \mu^F \cdot \rho^{1-F}$ $\frac{\Delta p}{\rho u^2} = C \cdot \left( \frac{l}{d} \right)^B \cdot \left( \frac{\mu}{ud\rho} \right)^F$ $\frac{\Delta p}{\rho u^2} = C \cdot \left( \frac{l}{d} \right)^B \cdot \left( \frac{ud\rho}{\mu} \right)^{-F}$ $\rm{Eu} = \it f \rm \left( \frac{l}{d}, Re \right)$

gdzie Re – liczba Reynoldsa, Eu – liczba Eulera

[edytuj] Teoremat Buckinghama

Teoremat Buckinghama (znany również jako teoremat Π]) mówi, że liczba modułów bezwymiarowych równa jest liczbie niezależnych parametrów fizycznych pomniejszonych o liczbę wymiarów podstawowych (metr, sekunda, kilogram, kelwin, amper, kandela).

Jeżeli mamy mamy równanie o n zmiennych, można zapisać je w postaci:

$\it f \rm \left( Q_1, Q_2, Q_3...Q_n \right) = 0$

Jeżeli liczbę parametrów podstawowych występującym w tym równaniu oznaczymy przez r, to zgodnie z teorematem Π liczba modułów bezwymiarowych będzie równa n-r, co można zapisać:

$\it f \rm \left( \pi_1, \pi_2, \pi_3...\pi_{n-r} \right) = 0$

W omówionym przykładzie liczba parametrów niezależnych (n) równa jest 6, liczba wartości podstawowych występującym w tym równaniu (r) jest równa 3 (m, kg, s) tak więc liczba modułów bezwymiarowych (Π) równa jest 3.