Formalizm (matematyka)
Z Wikipedii
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz w dyskusji tego artykułu lub na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.
Formalizm to kierunek w filozofii matematyki, będący formą rozwojową logicyzmu, który postuluje, że matematyka jest pewnym systemem formalnym (porównaj teoria aksjomatyczna), który zawiera określone aksjomaty (współcześnie rolę tę pełnią aksjomaty teorii mnogości), pewien zespół definicji oraz wyprowadza swoje wnioski w oparciu o te pojęcia korzystając z rachunku logicznego zdań.
Pogląd taki implikuje w szczególności kształt teorii dowodu matematycznego, wedle której prawdziwość twierdzenia matematycznego może być określona przez wyprowadzenie go w procesie rachunku logicznego zdań z przyjętych aksjomatów. W szczególności filozoficznym aspektem formalizmu w matematyce jest twierdzenie, że prawdy matematyczne nie niosą w sobie żadnej treści poza tą związaną z wykonanym w taki mechaniczny sposób kalkulacją. Innymi słowy prawdziwość twierdzeń matematycznych jest wedle tych poglądów oceniana z pominięciem ich treści (z pominięciem syntaktyki, a wyłącznie przy użyciu mechanicznej kalkulacji. Dowolne twierdzenie matematyki możliwe jest do wyprodukowania w procesie mechanicznej generacji zdań systemu formalnego.
Wielki program formalizacji matematyki zapostulował David Hilbert, zaś w jego realizacji wzięło udział wielu wybitnych matematyków jak Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, matematycy z grupy Bourbaki i inni.
Wielkimi nadziejami pokładanymi w takim rozumieniu podstaw matematyki zachwiał Kurt Gödel dowodząc twierdzenia o niezupełności systemów formalnych zawierających arytmetykę liczb naturalnych. Wynika z niego, że w każdym systemie formalnym, który zawiera arytmetykę liczb naturalnych i jest niesprzeczny istnieją zdania, których nie uda się na gruncie tego systemu dowieść ani obalić. Rezultat Gödla został wzmocniony pod koniec lat siedemdziesiątych ubiegłego wieku przez podanie zdań nierozstrzygalnych w sformalizowanym systemie arytmetyki liczb naturalnych. Oznaczało to koniec programu Hilberta w pierwotnej postaci.
Współcześnie formalizm należy rozumieć głównie jako technikę budowania teorii matematycznych, choć można także uważać go za formę paradygmatu matematyki o ile będziemy pamiętali o znanych już współcześnie jego ograniczeniach.
Przeciwieństwem formalizmu jest platonizm, wedle którego obiekty matematyczne istnieją niezależnie od uprawiającego matematykę umysłu.
[edytuj] Przedstawiciele
[edytuj] Zobacz też
- logicyzm
- intuicjonizm (matematyka)
- finityzm (matematyka)
- konstruktywizm (matematyka)
- platonizm
