Punkt Fermata

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Konstrukcja punktu Fermata

Punkt Fermata (punkt Torricellego) to punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. Pierwszy raz problem konstrukcji takiego punktu został rozwiązany przez Fermata w prywatnym liście.

[edytuj] Konstrukcja

W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż $120^\circ$ , punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.

Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej $120^\circ$ , łatwo zauważyć (z nierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

[edytuj] Dowód

Dla dowolnego punktu $F$ wewnątrz $Δ A B C$ , gdy obrócimy $Δ B F C$ wokół punktu $B$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt $60^\circ$ , to otrzymamy $Δ B G D$ (według oznaczeń na rysunku obok), gdzie $G$ jest punktem wewnątrz $Δ B C D$ spełniającym

| G D | = | F C |

| G B | = | F B |

oraz $\angle FBG=60^\circ$ ,

więc $Δ G B F$ jest równoboczny, czyli $| B F | = | G F |$ .

Stąd $| A F | + | B F | + | C F | = | A F | + | F G | + | G D |$ . Zatem wartość sumy $| A F | + | B F | + | C F |$ najmniejsza, gdy punkty $A$ , $F$ , $G$ , $D$ są współliniowe.

Prowadząc analogiczne rozumowanie obracając $Δ C F A$ i $Δ A F B$ wokół odpowiednich punktów otrzymujemy, że punkt $F$ o minimalnej wartości sumy $| A F | + | B F | + | C F |$ leży na pozostałych dwóch odcinkach łączących wierzchołki trójkąta wyjściowego z odpowiednimi wierzchołkami trójkątów równobocznych. Jest to jednocześnie dowód na współpękowość tych trzech odcinków.

[edytuj] Właściwości

Punkt Fermata jest jednocześnie punktem przecięcia okręgów opisanych na trójkątach równobocznych
Z punktu Fermata każdy bok widać pod tym samym kątem $120^\circ$ .
Odcinki zaznaczone na górnym rysunku na czerwono mają równe długości.

[edytuj] Dowód

Oznaczenia jak na najniższym rysunku. Gdy obrócimy $Δ B A Q$ wokół punktu $A$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt $60^\circ$ , to otrzymamy $Δ R A C$ . Stąd $| B Q | = | C R |$ . Analogicznie $| B Q | = | A P | = | C R |$ .

Z przystawania tych trójkątów wynika też, że $\angle ARC=\angle ABQ$ , oraz $\angle ACR=\angle AQB$ . Stąd

$\angle RFB=180^\circ -\angle FRB-\angle FBR=60^\circ$ .

Podobnie $\angle RFA=\angle AFQ=\angle QFC=\angle CFP=\angle PFB=60^\circ$

Zatem $\angle AFB=\angle AFC=120^\circ$ , czyli sumy przeciwległych kątów w tych czworokątach wynoszą $180^\circ$ . Stąd na czworokątach $A F B R$ oraz $A F C Q$ można opisać okręgi. Podobnie pokazujemy, że przez punkt Fermata przechodzi okrąg opisany na $Δ B C P$ .