Równanie symetryczne

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Równanie symetryczne jest to równanie algebraiczne postaci $a n x n + ... + a 1 x + a 0 = 0$ , gdzie dla każdego i zachodzi $a n - i = a i$ . Rozwiązywanie równań symetrycznych jest znacznie prostsze niż ich niesymetrycznych odpowiedników. W szczególności, równania symetryczne mogą zostać zawsze rozwiązane aż do stopnia dziewiątego. W przypadku dowolnego równania algebraicznego istnieją wzory na rozwiązywanie równań tylko do stopnia czwartego.

Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem $W ( - 1) = 0$ i na podstawie twierdzenia Bezouta możemy podzielić równanie przez $x + 1$ , otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.

Przykład: równanie

$ax^3 + bx^2 + bx + a = 0\quad$ ,gdzie $a\neq 0$

Wiedząc, iż $W(-1)=0\quad$ , dzielimy lewą stronę równania przez $x + 1$ . Otrzymujemy zredukowane równanie postaci:

$ax^{3}+bx^{2}+bx+a=(x+1)(ax^{2}+(b-a)x+a)\quad$

Następnym i ostatnim krokiem rozwiązania będzie rozwiązanie równania kwadratowego postaci

$ax^{2}+(b-a)x+a\quad=0$

którego rozwiązaniami są:

$x_{2}={\frac {-b+a+\sqrt {{b}^{2}-2\,ba-3\,{a}^{2}}}{2a}}$

$x_{3}={\frac {-b+a-\sqrt {{b}^{2}-2\,ba-3\,{a}^{2}}}{2a}}$

Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego, dzielimy obustronnie przez liczbę $x n / 2$ (możemy tego dokonać, gdyż $a 0 = a n$ a przecież $a_{n} \neq 0$ ) i grupujemy odpowiednio wyrazy a następnie podstawiamy $t = x + 1 / x$ .

Przykład: równanie symetryczne stopnia czwartego zwie się zwyczajowo równaniem zwrotnym. Dzieląc obustronnie przez współczynnik przy najwyższej potędze otrzymujemy

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0\quad$

Zero nie jest pierwiastkiem tego równania, więc dzielimy obustronnie przez $x^{2}\quad$ i otrzymujemy:

$x^{2}+ax+b+a\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$

a po odpowiednim uszeregowaniu wyrazów otrzymamy

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+a(x+\frac{1}{x})+b=0$

Teraz należy wprowadzić zmienną pomocniczą, tak określoną:

$t=x+\frac{1}{x}$

I zauważmy że:

$t^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2$

Teraz podstawiamy:

$t^{2}+at+b-2=0\quad$

Rozwiązujemy więc to równanie kwadratowe, a następnie jeszcze jedno, tym razem na x, korzystając z naszego podstawienia:

$t=x+\frac{1}{x}$

$t=\frac{x^{2}+1}{x}$

$x^{2}-xt+1\quad$

$x_{1}= \frac{-a+\sqrt{\Delta}+\sqrt{2a^{2}-2a\sqrt{\Delta}-4b-8}}{4}$

$x_{2}= \frac{-a+\sqrt{\Delta}-\sqrt{2a^{2}-2a\sqrt{\Delta}-4b-8}}{4}$

$x_{3}= \frac{-a-\sqrt{\Delta}+\sqrt{2a^{2}-2a\sqrt{\Delta}-4b-8}}{4}$

$x_{4}= \frac{-a-\sqrt{\Delta}-\sqrt{2a^{2}-2a\sqrt{\Delta}-4b-8}}{4}$

gdzie $\Delta=a^{2}-4b+8\quad$

Oczywiście ilość rozwiązań rzeczywistych zależy od wyróżnika równania kwadratowego ze zmienną t, a następnie od tego, czy uzyskane t jest większe od 2.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../r/%C3%B3/w/R%C3%B3wnanie_symetryczne.html"

Kategoria: Algebra

Równanie symetryczne

Z Wikipedii

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj