Relacja rozmyta

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja
2 Działania na relacjach rozmytych
3 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $U\$ i $V\$ będą niepoliczalnymi (ciągłymi) obszarami rozważań i $\mu_R : U\times V \rightarrow [0,1]$ , wtedy

$R = \int\limits_{U\times V}\mu_R(u,v)/(u,v)$

jest relacją rozmytą dwójkową na $U\times V$ . Jeśli $U\$ i $V\$ są policzalnymi (dyskretnymi) obszarami rozważań, wtedy

$R = \sum_{U\times V}\mu_R(u,v)/(u,v).$

[edytuj] Działania na relacjach rozmytych

Niech $R\$ i $S\$ będą relacjami dwójkowymi zdefiniowanymi na $X\times Y$ .

[edytuj] Iloczyn

Iloczyn $R\$ i $S\$ jest zdefiniowany

$\forall_{(x,y)\in X\times Y} : \mu_{R\cap S}(x,y)=min(\mu_R(x,y),\mu_S(x,y)).$

Zamiast minimum można użyć dowolnej $T\$ -normy.

[edytuj] Suma

Suma $R\$ i $S\$ jest zdefiniowana

$\forall_{(x,y)\in X\times Y} : \mu_{R\cup S}(x,y)=max(\mu_R(x,y),\mu_S(x,y)).$

[edytuj] Projekcja

Projekcja $R\$ na $S\$ jest zdefiniowana

$proj\; R\; na\;V=\int\limits_V \sup_{x_{j_1},...,x_{j_t}} \mu_R(x_1,...,x_n)/(x_{i_1},...,x_{i_k}).$

W przypadku dwójkowym zapis jest prostszy (niech $R\$ będzie zdefiniowane na $X\times Y$ )

$proj\; R\; na\;Y=\int\limits_Y \sup_{x} \mu_R(x,y)/y.$

Zamiast supremum, które jest niezbędne, gdy $X\$ i $Y\$ są ciągłe, na ogół operuje się na obszarach dyskretnych, stosując operację maksimum.

[edytuj] Rozszerzenie cylindryczne

Rozszerzenie cylindyczne $S\$ w $U\$ to

$ce(S)=\int\limits_U \mu_R(x_{i_1},...,x_{i_k})/(x_{1},...,x_{n}).$

W przypadku dwójkowym (niech $F\$ będzie zbiorem rozmytym definiowanym na $Y\$ ), rozszerzenie cylindryczne $F\$ na $X\times Y$ jest zbiorem wszystkich n-tek $(x,y)\in X \times T$ ze stopniem przynależności równym $\mu_F\;(y)$ , to znaczy

$ce(F)=\int\limits_{X\times Y} \mu_F(y)/(x,y).$

Stąd $proj \;ce(S)\; na\; V = S$ , ale ogólnie $ce\;(proj\; R \;na\; V) \neq R$ .

[edytuj] Kompozycja

Kombinacja zbiorów rozmytych i relacji rozmytej za pomocą rozszerzenia cylindrycznego i projekcji jest kompozycją i jest oznaczana przez $\circ$

Definicja

Niech $A\$ będzie zbiorem rozmytym zdefiniowanym na $X\$ i niech $R\$ będzie relacją rozmytą zdefiniowaną na $X\times Y$ . Wtedy kompozycję $A\$ i $R\$ stanowi zbór rozmyty $B\$ zdefioniowany na $Y\$ i zapisany